COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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解と係数の関係

解と係数の関係

定理≪方程式の解と係数の関係≫

 $a,$ $b,$ $c,$ $d$ ($a \neq 0$)を複素数とする.
(1)
$2$ 次方程式 $ax^2+bx+c = 0$ の $2$ 解が $\alpha,$ $\beta$ であるためには, \[\alpha +\beta = -\frac{b}{a}, \quad \alpha\beta = \frac{c}{a}\] の成り立つことが必要十分である.
(2)
$3$ 次方程式 $ax^3+bx^2+cx+d = 0$ の $3$ 解が $\alpha,$ $\beta,$ $\gamma$ であるためには, \[\alpha +\beta +\gamma =-\frac{b}{a},\ \alpha\beta +\beta\gamma +\gamma\alpha = \frac{c}{a},\ \alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}\] の成り立つことが必要十分である.

証明

 $a(x-\alpha )(x-\beta ),$ $a(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )$ を展開して係数を比較することにより分かる.

問題≪掛谷流の $2$ 次方程式の解の評価≫

 $a > b > c > 0$ とする. このとき, $2$ 次方程式 $ax^2+bx+c = 0$ の解 $\alpha$ の絶対値は $1$ 未満であることを, 次の場合に分けて示せ.
(1)
$\alpha$ が実数である場合.
(2)
$\alpha$ が虚数である場合.

解答例

 $ax^2+bx+c = 0$ のもう $1$ つの解を $\beta$ とおく. 解と係数の関係により \[\alpha +\beta = -\frac{b}{a}\ \cdots [1], \quad \alpha\beta = \frac{c}{a}\ \cdots [2]\] が成り立つ.
(1)
$\alpha$ が実数である場合. $\beta$ も実数であるので, 仮定と $[1],$ $[2]$ から $\alpha+\beta < 0,$ $\alpha\beta > 0$ であり, よって, $\alpha < 0,$ $\beta < 0$ である. したがって, 仮定から \[ |\alpha | \leqq |\alpha |+|\beta | = |\alpha +\beta | = \frac{b}{a} < 1\] が成り立ち, $|\alpha | < 1$ が得られる.
(2)
$\alpha$ が虚数である場合. $\alpha,$ $\beta$ は互いに共役であるので, $[2]$ から \[ |\alpha |^2 = \alpha\bar\alpha = \alpha\beta = \frac{c}{a} < 1\] が成り立ち, $|\alpha | < 1$ が得られる.

背景

 一般に, $a_n > \cdots > a_1 > a_0 > 0$ のとき, $n$ 次方程式 $a_nx^n+\cdots +a_1x+a_0 = 0$ の解 $\alpha$ の絶対値は $1$ 未満であることが知られている. これを「エネストレーム=掛谷の定理」(Eneström-Kakeya Theorem)と呼ぶ.