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真の理解のためのシンプルな数学のノート

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解と係数の関係

理論

 本稿では,特に断りのない限り, 多項式の係数, 方程式の解は, ある共通の体(結合法則, 交換法則, 分配法則を満たす四則演算の定義された集合; 例えば複素数全体の集合) $F$ において考察する.

$2$ 次方程式の解と係数の関係

定理≪$2$ 次方程式の解と係数の関係(Vieta's formula for quadratic equations)≫

 $a \neq 0,$ $b,$ $c,$ $\alpha,$ $\beta$ を定数とする. 次の条件は同値である:
(i)
$\alpha,$ $\beta$ は $2$ 次方程式 $ax^2+bx+c = 0$ のすべての解である.
(ii)
$\alpha +\beta = -\dfrac{b}{a}$ かつ $\alpha\beta = \dfrac{c}{a}.$

証明

 (一般化された)因数定理より, \begin{align*} \text{(i)} &\iff ax^2+bx+c = a(x-\alpha )(x-\beta ) \\ &\iff ax^2+bx+c = ax^2-a(\alpha +\beta )x+a\alpha\beta \\ &\iff b = -a(\alpha +\beta ),\ c = a\alpha\beta \\ &\iff \text{(ii)}. \end{align*}

別証明

(i) $\Longrightarrow$ (ii): 解の公式より, $ax^2+bx+c = 0$ の解は, $$\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$ よって, (i) を仮定すると, \begin{align*} \alpha +\beta &= \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ &= -\frac{2b}{2a} = -\frac{b}{a}, \\ \alpha\beta &= \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\cdot\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ &= \frac{(-b)^2-(b^2-4ac)}{4a^2} = \frac{c}{a}. \end{align*}

例≪$2$ 次方程式の解と係数の関係≫

 $\alpha,$ $\beta$ を $2x^2-x+4 = 0$ の $2$ 解とすると, $$\alpha +\beta = -\frac{-1}{2} = \frac{1}{2},\quad\alpha\beta = \frac{4}{2} = 2.$$

例≪和, 積から $2$ 数の決定≫

 和が $1,$ 積が $2$ となる $2$ 数は, $x^2-x+2 = 0$ の解だから, $\dfrac{1\pm\sqrt 7\mathrm i}{2}.$

$3$ 次方程式の解と係数の関係

定理≪$3$ 次方程式の解と係数の関係(Vieta's formula for cubic equations)≫

 $a \neq 0,$ $b,$ $c,$ $d,$ $\alpha,$ $\beta,$ $\gamma$ を定数とする. 次の条件は同値である:
(i)
$\alpha,$ $\beta,$ $\gamma$ は $3$ 次方程式 $ax^3+bx^2+cx+d = 0$ のすべての解である.
(ii)
$\alpha +\beta +\gamma = -\dfrac{b}{a}$ かつ $\alpha\beta +\beta\gamma +\gamma\alpha = \dfrac{c}{a}$ かつ $\alpha\beta\gamma = -\dfrac{d}{a}.$

証明

 (一般化された)因数定理より, \begin{align*} \text{(i)} &\iff ax^3+bx^2+cx+d = a(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma ) \\ &\iff ax^3+bx^2+cx+d = ax^3-a(\alpha +\beta +\gamma )x^2 \\ &\qquad\quad +a(\alpha\beta +\beta\gamma +\gamma\alpha )x-a\alpha\beta\gamma \\ &\iff b = -a(\alpha +\beta +\gamma ),\ c = a(\alpha\beta +\beta\gamma +\gamma\alpha ),\\ &\qquad\quad d = -a\alpha\beta\gamma \\ &\iff \text{(ii)}. \end{align*}

例≪$3$ 次方程式の解と係数の関係≫

 $\alpha,$ $\beta,$ $\gamma$ を $2x^3-x+4 = 0$ の $3$ 解とすると, \begin{align*} \alpha +\beta +\gamma &= -\frac{0}{2} = 0, \\ \alpha\beta +\beta\gamma +\gamma\alpha &= \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}, \\ \alpha\beta\gamma &= -\frac{4}{2} = -2. \end{align*}

問題

$2$ 次方程式の解と係数の関係

問題≪$2$ 次方程式の解の対称式の値≫

 $2$ 次方程式 $x^2-2x+3 = 0$ の相異なる解 $\alpha,$ $\beta$ に対して, 次の式の値を求めよ:
(1)
$\alpha +\beta,$ $\alpha\beta.$ 
(2)
$\alpha ^2+\beta ^2.$ 
(3)
$\alpha ^3+\beta ^3.$ 
(4)
$\alpha ^4+\beta ^4.$ 
(5)
$\alpha ^5+\beta ^5.$ 

解答例

(1)
$2$ 次方程式 $x^2-2x+3 = 0$ の解と係数の関係より, $$\alpha +\beta = 2 \quad \cdots [1], \qquad \alpha\beta = 3 \quad \cdots [2].$$
(2)
$(\alpha +\beta )^2 = \alpha ^2+2\alpha\beta +\beta ^2$ より, \begin{align*} \alpha ^2+\beta ^2 &= (\alpha +\beta )^2-2\alpha\beta \\ &= 2^2-2\cdot 3 \quad (\because [1],\ [2]) \\ &= -2 \quad \cdots [3]. \end{align*}
(3)
$(\alpha +\beta )^3 = \alpha ^3+3\alpha ^2\beta +3\alpha\beta ^2+\beta ^3$ より, \begin{align*} \alpha ^3+\beta ^3 &= (\alpha +\beta )^3-3\alpha\beta (\alpha +\beta ) \\ &= 2^3-3\cdot 3\cdot 2 \quad (\because [1],\ [2]) \\ &= -10 \quad \cdots [4]. \end{align*}
(4)
$(\alpha ^2+\beta ^2)^2 = \alpha ^4+2\alpha ^2\beta ^2+\beta ^4$ より, \begin{align*} \alpha ^4+\beta ^4 &= (\alpha ^2+\beta ^2)^2-2(\alpha\beta )^2 \\ &= (-2)^2-2\cdot 3^2 \quad (\because [2],\ [3]) \\ &= -14. \end{align*}
(5)
$(\alpha ^3+\beta ^3)(\alpha ^2+\beta ^2) = \alpha ^5+\alpha ^3\beta ^2+\alpha ^2\beta ^3+\beta ^5$ より, \begin{align*} \alpha ^5+\beta ^5 &= (\alpha ^3+\beta ^3)(\alpha ^2+\beta ^2)-(\alpha\beta )^2(\alpha +\beta ) \\ &= (-10)\cdot (-2)-3^2\cdot 2 \quad (\because [1],\ \dots,\ [4]) \\ &= 2. \end{align*}

問題≪$2$ 次方程式の $2$ 解の関係≫

 次の各場合に, $2$ 次方程式 $x^2-20x+k = 0 \cdots (\ast )$ の解と定数 $k$ の値を求めよ:
(a)
$2$ 解の差が $2.$
(b)
$2$ 解の比が $2:3.$
(c)
一方の解が他方の解の $2$ 乗.

解答例

(a)
$(\ast )$ について, $2$ 解は $\alpha,$ $\alpha +2$ とおけるから, 解と係数の関係より, $$\alpha +(\alpha +2) = 20 \cdots [1],\quad \alpha (\alpha +2) = k \cdots [2].$$ $[1]$ より, $\alpha = 9.$
このとき, $[2]$ より $k = 9\cdot 11 = 99$ で, $(\ast )$ の解は $9,$ $11.$
(b)
$(\ast )$ について, $2$ 解は $2\alpha,$ $3\alpha$ とおけるから, 解と係数の関係より, $$2\alpha +3\alpha = 20 \cdots [1],\quad 2\alpha\cdot 3\alpha = k \cdots [2].$$ $[1]$ より, $\alpha = 4.$
このとき, $[2]$ より $k = 6\alpha ^2 = 6\cdot 4^2 = 96$ で, $(\ast )$ の解は $8,$ $12.$
(c)
$(\ast )$ について, $2$ 解は $\alpha,$ $\alpha ^2$ とおけるから, 解と係数の関係より, $$\alpha +\alpha ^2 = 20 \cdots [1],\quad \alpha\cdot \alpha ^2 = k \cdots [2].$$ $[1]$ より, $\alpha = -5$ または $\alpha = 4.$
$[2]$ すなわち $k = \alpha ^3$ より, $\alpha = -5$ のとき $k = -125,$ $\alpha = 4$ のとき, $k = 64.$
ゆえに, $(\ast )$ の解は, $k = -125$ のとき $-5,$ $25;$ $k = 64$ のとき $4,$ $16.$

問題≪解から $2$ 次方程式の作成≫

 $\alpha,$ $\beta$ を $2$ 次方程式 $x^2+4x+2 = 0$ の相異なる解とするとき, $\alpha +2\beta,$ $2\alpha +\beta$ を解とする $2$ 次方程式を $1$ つ求めよ.

解答例

 $2$ 次方程式 $x^2+4x+2 = 0$ の解と係数の関係より, $$\alpha +\beta = -4,\quad\alpha\beta = 2.$$ よって, \begin{align*} (\alpha +2\beta )+(2\alpha +\beta ) &= 3(\alpha +\beta ) \\ &= 3\cdot (-4) \\ &= -12, \\ (\alpha +2\beta )(2\alpha +\beta ) &= 2(\alpha ^2+\beta ^2)+5\alpha\beta \\ &= 2((\alpha +\beta )^2-2\alpha\beta )+5\alpha\beta \\ &= 2(\alpha +\beta )^2+\alpha\beta \\ &= 2\cdot (-4)^2+2 \\ &= 34. \end{align*} ゆえに, $\alpha +2\beta,$ $2\alpha +\beta$ を解とする $2$ 次方程式の $1$ つは, $$x^2+12x+34 = 0.$$

問題≪$2$ つの $2$ 次方程式の解の関係≫

 $a,$ $b$ を実数とする. $2$ 次方程式 $x^2+ax+b = 0 \cdots [1]$ が $0$ でない異なる $2$ 解 $\alpha,$ $\beta$ を持ち, $2$ 次方程式 $x^2+bx+a = 0 \cdots [2]$ の解が $\dfrac{1}{\alpha},$ $\dfrac{1}{\beta}$ であるとき, $a,$ $b$ の値と $[1]$ の解を求めよ.

解答例

 $2$ 次方程式 $[1],$ $[2]$ の解と係数の関係より, \begin{align*} \alpha +\beta &= -a \cdots [3], & \alpha\beta &= b \cdots [4], \\ \frac{1}{\alpha} +\frac{1}{\beta} &= -b \cdots [5], & \frac{1}{\alpha}\cdot\frac{1}{\beta} &= a \cdots [6]. \\ \end{align*} $[5]$ すなわち $\dfrac{\alpha +\beta}{\alpha\beta} = -b$ に $[3],$ $[4]$ を代入すると, \begin{align*} \frac{-a}{b} &= -b. \\ \therefore a &= b^2 \cdots [7]. \end{align*} $[6]$ すなわち $\dfrac{1}{\alpha\beta} = a$ に $[4]$ を代入すると, $$\frac{1}{b} = a \cdots [8].$$ $[7],$ $[8]$ より, $\dfrac{1}{b} = b^2$ だから, $$b^3 = 1.$$ よって, $b^3-1 = 0$ より, $$(b-1)(b^2+b+1) = 0.$$ $b$ は実数だから, $b = 1.$
このとき, $[8]$ より, $a = 1.$
$a = b = 1$ のとき, $[1]$ すなわち $x^2+x+1 = 0$ の解は, $$x = \frac{-1\pm\sqrt 3\mathrm i}{2}.$$

問題≪連立 $2$ 次方程式の解の存在範囲≫

 実数 $\alpha,$ $\beta,$ $\gamma$ が $$\alpha +\beta +\gamma = \alpha ^2+\beta ^2+\gamma ^2 = 1$$ を満たすとき,
(1)
$\alpha\beta +\beta\gamma +\gamma\alpha$ の値を求めよ.
(2)
$\alpha +\beta,$ $\alpha\beta$ を $\gamma$ で表せ.
(3)
$\gamma$ のとり得る値の範囲を求めよ.

解答例

(1)
条件式を $(\alpha +\beta +\gamma )^2 = (\alpha ^2+\beta ^2+\gamma ^2)+2(\alpha\beta +\beta\gamma +\gamma\alpha )$ に代入すると, \begin{align*} &1^2 = 1+2(\alpha\beta +\beta\gamma +\gamma\alpha ). \\ \therefore&\alpha\beta +\beta\gamma +\gamma\alpha = 0 \cdots [1]. \end{align*}
(2)
$\alpha +\beta +\gamma = 1$ より, $$\alpha +\beta = 1-\gamma \cdots [2].$$ $[1],$ $[2]$ より, \begin{align*} \alpha\beta &= -\gamma (\alpha +\beta ) \\ &= \gamma (\gamma -1) \cdots [3]. \end{align*}
(3)
$[2],$ $[3]$ より, $\alpha,$ $\beta$ は実数係数の $2$ 次方程式 $$x^2+(\gamma -1)x+\gamma (\gamma -1) = 0$$ の実数解だから, \begin{align*} (\gamma -1)^2-4\gamma (\gamma -1) &\geqq 0. \\ \therefore (3\gamma +1)(\gamma -1) &\leqq 0. \end{align*} ゆえに, $\gamma$ のとり得る値の範囲は, $$-\frac{1}{3} \leqq \gamma \leqq 1.$$

問題≪$2$ 次方程式の整数解≫

 $n$ を整数とする. $2$ 次方程式 $$x^2-nx+2n = 0$$ が整数解 $\alpha,$ $\beta$ $(\alpha \leqq \beta)$を持つとき, その値と $n$ の値を求めよ.

解答例

 解と係数の関係より, $$\alpha +\beta = n \cdots [1],\quad \alpha\beta = 2n \cdots [2].$$ $[1]$ を $[2]$ に代入すると, \begin{align*} \alpha\beta &= 2(\alpha +\beta ). \\ \alpha\beta -2(\alpha +\beta ) &= 0. \\ \therefore (\alpha -2)(\beta -2) &= 4. \end{align*} $\alpha,$ $\beta$ が整数のとき, $\alpha -2,$ $\beta -2$ は整数だから,
$(\alpha -2,\ \beta -2) = (-4,\ -1)$ または $(-2,\ -2)$ または $(1,\ 4)$ または $(2,\ 2).$
$\therefore (\alpha,\ \beta) = (-2,\ 1)$ または $(0,\ 0)$ または $(3,\ 6)$ または $(4,\ 4).$
$[1]$ より, それぞれの場合に,
$n = -1$ または $0$ または $9$ または $8.$
ゆえに, $n = -1$ のとき $\alpha = -4,$ $\beta = -1,$ $n = 0$ のとき $\alpha = \beta = 0,$ $n = 8$ のとき $\alpha = \beta = 4,$ $n = 9$ のとき $\alpha = 3,$ $\beta = 6.$

$3$ 次方程式の解と係数の関係

問題≪連立 $3$ 次方程式≫

 実数 $\alpha,$ $\beta,$ $\gamma$ が $\alpha \leqq \beta \leqq \gamma$ と
$\alpha +\beta +\gamma = 3 \cdots [1],$ $\alpha ^2+\beta ^2+\gamma ^2 = 7 \cdots [2],$ $\alpha ^3+\beta ^3+\gamma ^3 = 15 \cdots [3]$
を満たすとき,
(1)
$\alpha\beta +\beta\gamma +\gamma\alpha$ の値を求めよ.
(2)
$\alpha\beta\gamma$ の値を求めよ.
(3)
$\alpha,$ $\beta,$ $\gamma$ の値を求めよ.

解答例

(1)
$[1],$ $[2]$ を $(\alpha +\beta +\gamma )^2 = (\alpha ^2+\beta ^2+\gamma ^2)+2(\alpha\beta +\beta\gamma +\gamma\alpha )$ に代入すると, \begin{align*} &3^2 = 7+2(\alpha\beta +\beta\gamma +\gamma\alpha ). \\ \therefore&\alpha\beta +\beta\gamma +\gamma\alpha = 1 \cdots [4]. \end{align*}
(2)
$k = \alpha\beta\gamma \cdots [5]$ とおく.
$[1],$ $[4],$ $[5]$ より $\alpha,$ $\beta,$ $\gamma$ は $$x^3-3x^2+x-k = 0$$ すなわち $x^3 = 3x^2-x+k$ の解だから, \begin{align*} \alpha ^3 &= 3\alpha ^2-\alpha +k, \\ \beta ^3 &= 3\beta ^2-\beta +k, \\ \gamma ^3 &= 3\gamma ^2-\gamma +k. \end{align*} 辺々を加えると, \begin{align*} &\alpha ^3+\beta ^3+\gamma ^3 \\ &= 3(\alpha ^2+\beta ^2+\gamma ^2)-(\alpha +\beta +\gamma )+3k. \end{align*} $[1],$ $[2],$ $[3]$ を代入すると, \begin{align*} &15 = 3\cdot 7-3+3k \\ \therefore&\alpha\beta\gamma = k = -1. \end{align*}
(3)
(2) の結果より, $\alpha,$ $\beta,$ $\gamma$ は $$x^3-3x^2+x+1 = 0$$ の解である.
$f(x) = x^3-3x^2+x+1$ とおくと, $$f(1) = 1-3+1+1 = 0$$ より, $f(x)$ は $x-1$ で割り切れる. $$\begin{array}{rrrrrr} {} & 1 & -3 & 1 & 1 & |\!\underline{\ 1\ } \\ +) & {} & 1 & -2 & -1 & {} \\ \hline {} & 1 & -2 & -1 & |\!\underline{\ 0\ } & {} \end{array}$$ 上記の計算より, $$f(x) = (x-1)(x^2-2x-1).$$ ゆえに, $f(x) = 0$ を解くと, $\alpha \leqq \beta \leqq \gamma$ より, $$\alpha = 1-\sqrt 2,\quad\beta = 1,\quad\gamma = 1+\sqrt 2.$$