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真の理解のためのシンプルな数学のノート

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導多項式

導多項式

 以下, $K$ を有理数全体, 実数全体, または複素数全体の集合とし, $K$ の要素を係数とする多項式を $K$ 上の多項式と呼ぶ.

定義≪導多項式≫

 $f(x) = \displaystyle\sum_{k = 0}^na_kx^k$ を $K$ 上の多項式とする.
(1)
多項式 $\displaystyle\sum_{k = 1}^nka_kx^{k-1}$ を $f(x)$ の導多項式(derivative)と呼び, $\{ f(x)\}',$ $f'(x)$ または $\dfrac{d}{dx}f(x)$ で表す.
(2)
$f^{(0)}(x) = f(x)$ と $f^{(m+1)}(x) = \{ f^{(m)}(x)\}',$ $\dfrac{d^{m+1}}{dx^{m+1}}f(x) = \dfrac{d}{dx}\left\{\dfrac{d^m}{dx^m}f(x)\right\}$ で $f(x)$ の $m$ 階導多項式 $f^{(m)}(x),$ $\dfrac{d^m}{dx^m}f(x)$ を順次定める.

定理≪和・差・積の導多項式≫

 $K$ 上の多項式 $f(x),$ $g(x)$ と定数 $a \in K$ に対して, \begin{align*} \{ f(x)\pm g(x)\}' &= f'(x)\pm g'(x) \quad (\text{複号同順}), \\ \{ f(x)g(x)\}' &= f'(x)g(x)+f(x)g'(x), \\ \{ af(x)\}' &= af'(x) \end{align*} が成り立つ.

定理≪多項式の合成の導多項式≫

 $K$ 上の多項式 $f(x),$ $g(x)$ と定数 $a,$ $b \in K$ に対して, \begin{align*} \{ f(g(x))\}' &= f'(g(x))g'(x), \\ \{ f(ax+b)\}' &= af'(ax+b) \end{align*} が成り立つ.

定理≪多項式の重根判定法≫

 $m$ を正の整数とし, $\alpha \in K$ であるとする. このとき, $K$ 上の多項式 $f(x)$ が $(x-\alpha )^m$ で割り切れるための必要十分条件は, \[ f(\alpha ) = \cdots = f^{(m-1)}(\alpha ) = 0\] である.

問題

数学 III: 微分法

問題≪多項式の重根判定法≫

 実数を係数とする多項式 $f(x),$ 実数 $\alpha$ について,
(1)
$f(x)$ の導関数を考えることにより, $\alpha,$ $f(\alpha ),$ $f'(\alpha )$ を用いて $f(x)$ を $(x-\alpha )^2$ で割ったときの余りを表せ.
(2)
$f(x)$ が $(x-\alpha )^2$ で割り切れるための必要十分条件は, $f(\alpha ) = f'(\alpha ) = 0$ であることを示せ.
[早稲田大*]

解答例

(1)
$f(x)$ を $(x-\alpha )^2$ で割ったときの商を $q(x),$ 余りを $ax+b$ ($a,$ $b$: 定数)とおく. このとき, \[ f(x) = (x-\alpha )^2q(x)+ax+b \quad \cdots [1]\] が成り立つ. 両辺を $x$ で微分すると \[ f'(x) = 2(x-\alpha )q(x)+(x-\alpha )^2q'(x)+a \quad \cdots [2]\] となる. $[1],$ $[2]$ に $x = \alpha$ を代入すると, \[ f(\alpha ) = a\alpha +b, \quad f'(\alpha ) = a\] となり, $b = f(\alpha )-a\alpha = f(\alpha )-\alpha f'(\alpha )$ となる.
ゆえに, 求める余りは, $xf'(\alpha )+f(\alpha )-\alpha f'(\alpha )$ である.
(2)
(1) の結果から, \begin{align*} &f(x)\text{ が }(x-\alpha )^2\text{ で割り切れる} \\ &\iff xf'(\alpha )+f(\alpha )-\alpha f'(\alpha ) = 0 \\ &\iff f'(\alpha ) = f(\alpha )-\alpha f'(\alpha ) = 0 \\ &\iff f(\alpha ) = f'(\alpha ) = 0 \end{align*} が成り立つ.

背景

 一般に, 実数を係数とする多項式 $f(x)$ が $(x-\alpha )^m$ で割り切れるための必要十分条件は, \[ f(\alpha ) = \cdots = f^{(m-1)}(\alpha ) = 0\] であることが知られている.
 係数が有理数であるときにも, 多項式を関数として微分するには実数の範囲で極限の概念を使わなければならないが, その公式 \[\left(\sum_{k = 0}^na_kx^k\right) ' = \sum_{k = 1}^nka_kx^{k-1}\] を「導多項式」(derivative of polynomial)と呼ばれる多項式の「形式的」な微分の定義として採用すれば, 極限の概念の使用を避けて上記のような議論ができることが知られている. また, 複素数に対しても,「導多項式」を使った議論から, 上記の判定法が証明できる.