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真の理解のためのシンプルな数学のノート

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導多項式

導多項式

 以下, $K$ を有理数全体, 実数全体, または複素数全体の集合とし, $K$ の要素を係数とする多項式を $K$ 上の多項式と呼ぶ.

定義≪導多項式≫

 $f(x) = \displaystyle\sum_{k = 0}^na_kx^k$ を $K$ 上の多項式とする.
(1)
多項式 $\displaystyle\sum_{k = 1}^nka_kx^{k-1}$ を $f(x)$ の導多項式(derivative)と呼び, $\{ f(x)\}',$ $f'(x)$ または $\dfrac{d}{dx}f(x)$ で表す.
(2)
$f^{(0)}(x) = f(x)$ と $f^{(m+1)}(x) = \{ f^{(m)}(x)\}',$ $\dfrac{d^{m+1}}{dx^{m+1}}f(x) = \dfrac{d}{dx}\left\{\dfrac{d^m}{dx^m}f(x)\right\}$ で $f(x)$ の $m$ 階導多項式 $f^{(m)}(x),$ $\dfrac{d^m}{dx^m}f(x)$ を順次定める.

定理≪和・差・積の導多項式≫

 $K$ 上の多項式 $f(x),$ $g(x)$ と定数 $a \in K$ に対して, \begin{align*} \{ f(x)\pm g(x)\}' &= f'(x)\pm g'(x) \quad (\text{複号同順}), \\ \{ f(x)g(x)\}' &= f'(x)g(x)+f(x)g'(x), \\ \{ af(x)\}' &= af'(x) \end{align*} が成り立つ.

定理≪多項式の合成の導多項式≫

 $K$ 上の多項式 $f(x),$ $g(x)$ と定数 $a,$ $b \in K$ に対して, \begin{align*} \{ f(g(x))\}' &= f'(g(x))g'(x), \\ \{ f(ax+b)\}' &= af'(ax+b) \end{align*} が成り立つ.

定理≪多項式の重根判定法≫

 $m$ を正の整数とし, $\alpha \in K$ であるとする. このとき, $K$ 上の多項式 $f(x)$ が $(x-\alpha )^m$ で割り切れるための必要十分条件は, \[ f(\alpha ) = \cdots = f^{(m-1)}(\alpha ) = 0\] である.

問題

数学 III: 微分法

問題≪多項式の重根判定法≫

 実数を係数とする多項式 $f(x),$ 実数 $\alpha$ について,
(1)
$f(x)$ の導関数を考えることにより, $\alpha,$ $f(\alpha ),$ $f'(\alpha )$ を用いて $f(x)$ を $(x-\alpha )^2$ で割ったときの余りを表せ.
(2)
$f(x)$ が $(x-\alpha )^2$ で割り切れるための必要十分条件は, $f(\alpha ) = f'(\alpha ) = 0$ であることを示せ.
[早稲田大*]

解答例

 こちらを参照.