COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

数式を枠からはみ出さずに表示するためには, 画面を横に傾けてください(532 ピクセル以上推奨).

ゲルフォント=シュナイダーの定理

ゲルフォント=シュナイダーの定理

定義≪代数的数, 超越数≫

(1)
ある有理数係数多項式 $f(x)$ について $f(x) = 0$ の解として表される数を代数的数(algebraic number)と呼ぶ.
(2)
代数的数でない実数を超越数(transcendental number)と呼ぶ.

定理≪ゲルフォント=シュナイダーの定理≫

 $0$ でも $1$ でもない代数的数 $\alpha$ と, 有理数でない代数的数 $\beta$ に対して, $\alpha ^\beta$ は超越数である.

問題

数学 II: 指数と対数

問題≪$2^{\sqrt 2}$ の無理性にまつわる問題≫

 $2^{\sqrt 2},$ $2^{\sqrt 2}\sqrt 2$ の少なくとも一方は無理数であることを示せ.

解答例

 こちらを参照.