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真の理解のためのシンプルな数学のノート

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代数拡大体

代数拡大体

 四則演算が定義され, 交換法則と結合法則, 分配法則を満たす数の集合を(field)と呼ぶ. 有理数全体 $\mathbb Q$ は通常の四則演算に関して体を成す. これを有理数体(field of rational numbers)と呼ぶ. 現代数学において, 方程式論は体の理論, 体論として展開されている.

定義≪代数拡大体≫

(1)
体 $K$ の要素を係数とするある多項式 $f(x)$ に対して $f(x) = 0$ の解となるような数は $K$ 上代数的(algebraic)であるという.
(2)
体 $K$ 上代数的な数 $\alpha$ に対して, $f(\alpha ) = 0$ を満たす次数最小の多項式 $f(x)$ を $\alpha$ の最小多項式(minimal polynomial)と呼ぶ.
(3)
$K$ を含む体 $L$ のすべての要素が $K$ 上代数的であるとき, $L$ を $K$ の代数拡大体(algebraic extension)と呼ぶ.

例≪$2$ 次体≫

 平方数でない整数 $d$ に対して, 集合 $\{ a+b\sqrt d|a,b \in \mathbb Q\}$ は $\mathbb Q$ の代数拡大体である. これを $2$ 次体(quadratic field)と呼ぶ.

問題

数学 I: 数と式

問題≪$2$ 次体の性質≫

 次のことを示せ.
(1)
正の整数 $d$ が平方数でないならば, $\sqrt d$ は無理数である.
(2)
すべての有理数 $a,$ $b,$ $a',$ $b'$ に対して \[ a+b\sqrt 2 = a'+b'\sqrt 2 \Longrightarrow (a,b) = (a',b')\] が成り立つ.
(3)
多項式 $f_1(x),$ $f_2(x)$ に対して, $f_2(\sqrt 2) \neq 0$ のとき, \[\frac{f_1(\sqrt 2)}{f_2(\sqrt 2)} = a+b\sqrt 2\] を満たす有理数 $a,$ $b$ の組がただ $1$ 組存在する.

解答例

(1)
$\sqrt d$ が有理数であるとして, $d$ が平方数であることを示す.
このとき, $\sqrt d$ は $\sqrt d = \dfrac{m}{n}$ ($m,$ $n$: 整数, $n \neq 0$)と表され, $n\sqrt d = m$ から $n^2d = m^2$ となる.
両辺の素因数分解において, 各素数 $p$ に対し, 右辺の $p$ の指数は偶数であるから, 左辺の $p$ の指数も偶数であり, よって $d$ の部分の $p$ の指数も偶数である
よって, $d$ は平方数である.
ゆえに, 対偶は真であるから, 示すべき命題も真である.
(2)
$a+b\sqrt 2 = a'+b'\sqrt 2$ のとき, $(b-b')\sqrt 2 = a'-a$ となるが, $\sqrt 2$ は無理数であるから $b-b' = 0$ とならなければならず, $a'-a = 0$ となり, $(a,b) = (a',b')$ となる.
(3)
各非負整数 $k$ に対して $(\sqrt 2)^{2k} = 2^k,$ $(\sqrt 2)^{2k+1} = 2^k\sqrt 2$ であるから, 有理数 $a_1,$ $b_1,$ $a_2,$ $b_2$ のある組に対して $f_1(\sqrt 2) = a_1+b_1\sqrt 2,$ $f_2(\sqrt 2) = a_2+b_2\sqrt 2$ となる. このとき, \begin{align*} \frac{f_1(\sqrt 2)}{f_2(\sqrt 2)} &= \frac{a_1+b_1\sqrt 2}{a_2+b_2\sqrt 2} \\ &= \frac{(a_1+b_1\sqrt 2)(a_2-b_2\sqrt 2)}{(a_2+b_2\sqrt 2)(a_2-b_2\sqrt 2)} \\ &= \frac{a_1a_2-2b_1b_2}{a_2{}^2-2b_2{}^2}+\frac{-a_1b_2+b_1a_2}{a_2{}^2-2b_2{}^2}\sqrt 2 \end{align*} となり, (2) からこの表示は一意的である.

背景

 四則演算が定義され, 交換法則と結合法則, 分配法則を満たす数の集合を「体」(field)と呼ぶ. 例えば, 有理数全体 $Q$ は通常の四則演算に関して体を成す. これを「有理数体」(field of rational numbers)と呼ぶ. 現代数学において, 方程式論は「体」の理論,「体論」として展開されている.
 平方数でない整数 $d$ に対して, $Q$ と $x^2 = d$ の解 $x = \pm d$ を含む最小の「体」は $\{ a+b\sqrt d|a,b \in Q\}$ であることが知られている. この形の「体」を「$2$ 次体」(quadratic field)と呼ぶ. このように,「体」$K$ の要素を係数とする多項式 $f(x)$ に対して, $K$ と方程式 $f(x) = 0$ の解を含む最小の体を $f(x)$ の $K$ 上の「最小分解体」(smallest splitting field)と呼ぶ.

数学 II: 複素数と方程式

問題≪虚数単位の最小多項式≫

 有理数係数多項式 $f(x)$ が $f(i) = 0$ を満たすとする. このとき, $f(x)$ は $x^2+1$ で割り切れることを示せ. また, $x^2+1$ はこの条件を満たす次数最小の有理数係数多項式であることを示せ.

解答例

 $f(x)$ を $x^2+1$ で割ったときの商を $q(x),$ 余りを $ax+b$ ($a,$ $b$: 有理数)とおく. このとき, 仮定から \[ 0 = f(i) = (i^2+1)q(i)+ai+b\] となるので, $i^2 = -1$ から $ai+b = 0$ となる. $a,$ $b$ は有理数であるから, $a = b = 0$ となる. よって, $f(x)$ は $x^2+1$ で割り切れる.
 このとき, $f(x)$ はある有理数係数多項式 $q(x)$ に対して \[ f(x) = (x^2+1)q(x)\] と表せるから, $f(x)$ の次数は $2$ 以上である. ゆえに, $x^2+1$ は条件を満たす次数最小の有理数係数多項式である.

背景

 $Q$ を有理数全体の集合, $\alpha$ を複素数とする. ある有理数係数多項式 $f(x)$ に対して $f(\alpha ) = 0$ となるとき, そのような次数最小の有理数係数多項式 $f(x)$ を $\alpha$ の $Q$ 上の「最小多項式」と呼ぶ. 一般に, $\alpha$ の $Q$ 上の「最小多項式」は $f(\alpha ) = 0$ を満たす $Q$ 上の「既約多項式」$f(x)$ であることが知られている. 「最小多項式」の概念は, 方程式の理論の中で基本的な役割を果たす.