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真の理解のためのシンプルな数学のノート

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代数拡大体

代数拡大体

 四則演算が定義され, 交換法則と結合法則, 分配法則を満たす数の集合を(field)と呼ぶ. 有理数全体 $Q$ は通常の四則演算に関して体を成す. これを有理数体(field of rational numbers)と呼ぶ. 現代数学において, 方程式論は体の理論, 体論として展開されている.
 体 $K$ の要素を係数とするある多項式 $f(x)$ に対して $f(x) = 0$ の解となるような数は $K$ 上代数的(algebraic)であるという. $K$ を含む体 $L$ のすべての要素が $K$ 上代数的であるとき, $L$ を $K$ の代数拡大体(algebraic extension)と呼ぶ. 例えば, 平方数でない整数 $d$ に対して, 集合 $\{ a+b\sqrt d|a,b \in Q\}$ は $Q$ の代数拡大体である. これを $2$ 次体(quadratic field)と呼ぶ.

問題

数学 I: 数と式

問題≪$2$ 次体の性質≫

 次のことを示せ.
(1)
正の整数 $d$ が平方数でないならば, $\sqrt d$ は無理数である.
(2)
すべての有理数 $a,$ $b,$ $a',$ $b'$ に対して \[ a+b\sqrt 2 = a'+b'\sqrt 2 \Longrightarrow (a,b) = (a',b')\] が成り立つ.
(3)
多項式 $f_1(x),$ $f_2(x)$ に対して, $f_2(\sqrt 2) \neq 0$ のとき, \[\frac{f_1(\sqrt 2)}{f_2(\sqrt 2)} = a+b\sqrt 2\] を満たす有理数 $a,$ $b$ の組がただ $1$ 組存在する.

解答例

(1)
$\sqrt d$ が有理数であるとして, $d$ が平方数であることを示す.
このとき, $\sqrt d$ は $\sqrt d = \dfrac{m}{n}$ ($m,$ $n$: 整数, $n \neq 0$)と表され, $n\sqrt d = m$ から $n^2d = m^2$ となる.
両辺の素因数分解において, 各素数 $p$ に対し, 右辺の $p$ の指数は偶数であるから, 左辺の $p$ の指数も偶数であり, よって $d$ の部分の $p$ の指数も偶数である
よって, $d$ は平方数である.
ゆえに, 対偶は真であるから, 示すべき命題も真である.
(2)
$a+b\sqrt 2 = a'+b'\sqrt 2$ のとき, $(b-b')\sqrt 2 = a'-a$ となるが, $\sqrt 2$ は無理数であるから $b-b' = 0$ とならなければならず, $a'-a = 0$ となり, $(a,b) = (a',b')$ となる.
(3)
各非負整数 $k$ に対して $(\sqrt 2)^{2k} = 2^k,$ $(\sqrt 2)^{2k+1} = 2^k\sqrt 2$ であるから, 有理数 $a_1,$ $b_1,$ $a_2,$ $b_2$ のある組に対して $f_1(\sqrt 2) = a_1+b_1\sqrt 2,$ $f_2(\sqrt 2) = a_2+b_2\sqrt 2$ となる. このとき, \begin{align*} \frac{f_1(\sqrt 2)}{f_2(\sqrt 2)} &= \frac{a_1+b_1\sqrt 2}{a_2+b_2\sqrt 2} \\ &= \frac{(a_1+b_1\sqrt 2)(a_2-b_2\sqrt 2)}{(a_2+b_2\sqrt 2)(a_2-b_2\sqrt 2)} \\ &= \frac{a_1a_2-2b_1b_2}{a_2{}^2-2b_2{}^2}+\frac{-a_1b_2+b_1a_2}{a_2{}^2-2b_2{}^2}\sqrt 2 \end{align*} となり, (2) からこの表示は一意的である.

背景

 四則演算が定義され, 交換法則と結合法則, 分配法則を満たす数の集合を「体」(field)と呼ぶ. 例えば, 有理数全体 $Q$ は通常の四則演算に関して体を成す. これを「有理数体」(field of rational numbers)と呼ぶ. 現代数学において, 方程式論は「体」の理論「体論」として展開されている.
 平方数でない整数 $d$ に対して, $Q$ と $x^2 = d$ の解 $x = \pm d$ を含む最小の「体」は $\{ a+b\sqrt d|a,b \in Q\}$ であることが知られている. この形の体を「$2$ 次体」(quadratic field)と呼ぶ. このように, 体 $K$ の要素を係数とする多項式 $f(x)$ に対して, $K$ と方程式 $f(x) = 0$ の解を含む最小の体を $f(x)$ の $K$ 上の「最小分解体」(smallest splitting field)と呼ぶ.