COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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平方根

平方根

定義≪平方根≫

 $a$ を $0$ 以上の実数とする. $x^2 = a$ の実数解を $a$ の平方根(square root)と呼び, そのうち $0$ 以上の解を $\sqrt a$ で表す.

定理≪平方根の性質≫

 $a,$ $b$ を正の数, $c$ を実数とする.
(1)
$(\sqrt a)^2 = a$ が成り立つ.
(2)
$\sqrt a\sqrt b = \sqrt{ab},$ $\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$ が成り立つ.
(3)
$\sqrt{c^2} = |c|,$ $\sqrt{c^2a} = |c|\sqrt a$ が成り立つ.
(4)
$(x+y\sqrt a)(x-y\sqrt a) = x^2-ay^2,$ $\dfrac{1}{x+y\sqrt a} = \dfrac{x-y\sqrt a}{x^2-ay^2}$ が成り立つ.

定理≪平方根の無理性≫

 正の整数 $d$ が平方数でないならば, $\sqrt d$ は無理数である.

問題≪$2$ 次体の性質≫

 次のことを示せ.
(1)
正の整数 $d$ が平方数でないならば, $\sqrt d$ は無理数である.
(2)
すべての有理数 $a,$ $b,$ $a',$ $b'$ に対して \[ a+b\sqrt 2 = a'+b'\sqrt 2 \Longrightarrow (a,b) = (a',b')\] が成り立つ.
(3)
多項式 $f_1(x),$ $f_2(x)$ に対して, $f_2(\sqrt 2) \neq 0$ のとき, \[\frac{f_1(\sqrt 2)}{f_2(\sqrt 2)} = a+b\sqrt 2\] を満たす有理数 $a,$ $b$ の組がただ $1$ 組存在する.

解答例

(1)
$\sqrt d$ が有理数であるとして, $d$ が平方数であることを示す.
このとき, $\sqrt d$ は $\sqrt d = \dfrac{m}{n}$ ($m,$ $n$: 整数, $n \neq 0$)と表され, $n\sqrt d = m$ から $n^2d = m^2$ となる.
両辺の素因数分解において, 各素数 $p$ に対し, 右辺の $p$ の指数は偶数であるから, 左辺の $p$ の指数も偶数であり, よって $d$ の部分の $p$ の指数も偶数である
よって, $d$ は平方数である.
ゆえに, 対偶は真であるから, 示すべき命題も真である.
(2)
$a+b\sqrt 2 = a'+b'\sqrt 2$ のとき, $(b-b')\sqrt 2 = a'-a$ となるが, $\sqrt 2$ は無理数であるから $b-b' = 0$ とならなければならず, $a'-a = 0$ となり, $(a,b) = (a',b')$ となる.
(3)
各非負整数 $k$ に対して $(\sqrt 2)^{2k} = 2^k,$ $(\sqrt 2)^{2k+1} = 2^k\sqrt 2$ であるから, 有理数 $a_1,$ $b_1,$ $a_2,$ $b_2$ のある組に対して $f_1(\sqrt 2) = a_1+b_1\sqrt 2,$ $f_2(\sqrt 2) = a_2+b_2\sqrt 2$ となる. このとき, \begin{align*} \frac{f_1(\sqrt 2)}{f_2(\sqrt 2)} &= \frac{a_1+b_1\sqrt 2}{a_2+b_2\sqrt 2} \\ &= \frac{(a_1+b_1\sqrt 2)(a_2-b_2\sqrt 2)}{(a_2+b_2\sqrt 2)(a_2-b_2\sqrt 2)} \\ &= \frac{a_1a_2-2b_1b_2}{a_2{}^2-2b_2{}^2}+\frac{-a_1b_2+b_1a_2}{a_2{}^2-2b_2{}^2}\sqrt 2 \end{align*} となり, (2) からこの表示は一意的である.

背景

 四則演算が定義され, 交換法則と結合法則, 分配法則を満たす数の集合を「体」(field)と呼ぶ. 例えば, 有理数全体 $\mathbb Q$ は通常の四則演算に関して体を成す. これを「有理数体」(field of rational numbers)と呼ぶ. 現代数学において, 方程式論は「体」の理論,「体論」として展開されている.
 平方数でない整数 $d$ に対して, $\mathbb Q$ と $x^2 = d$ の解 $x = \pm d$ を含む最小の「体」は $\{ a+b\sqrt d|a,b \in \mathbb Q\}$ であることが知られている. この形の「体」を「$2$ 次体」(quadratic field)と呼ぶ. このように,「体」$K$ の要素を係数とする多項式 $f(x)$ に対して, $K$ と方程式 $f(x) = 0$ の解を含む最小の体を $f(x)$ の $K$ 上の「最小分解体」(smallest splitting field)と呼ぶ.

問題≪リュカ数を表す対称式の値≫

 $\alpha = \dfrac{1+\sqrt 5}{2},$ $\beta = \dfrac{1-\sqrt 5}{2}$ について,
(1)
$\alpha +\beta,$ $\alpha\beta$
(2)
$\alpha ^2+\beta ^2$ 
(3)
$\alpha ^4+\beta ^4$ 
の値を求めよ.

解答例

(1)
$\alpha,$ $\beta$ の定義により, \begin{align*} \alpha +\beta &= \frac{1+\sqrt 5}{2}+\frac{1-\sqrt 5}{2} = 1, \\ \alpha\beta &= \frac{1+\sqrt 5}{2}\cdot\frac{1-\sqrt 5}{2} = \frac{1-5}{4} = -1 \end{align*} である.
(2)
(1) から, \begin{align*} \alpha ^2+\beta ^2 &= (\alpha +\beta )^2 -2\alpha\beta \\ &= 1^2-2\cdot (-1) = 3 \end{align*} である.
(3)
(1), (2) から, \begin{align*} \alpha ^4+\beta ^4 &= (\alpha ^2+\beta ^2)^2-2(\alpha\beta )^2 \\ &= 3^2-2\cdot (-1)^2 = 7 \end{align*} である.

背景

  • $x^n+y^n$ のように, $x$ と $y$ を入れ替えても形が変わらない $x,$ $y$ の式を $x,$ $y$ の「対称式」と呼ぶ. $x,$ $y$ のすべての「対称式」は, $s = x+y,$ $t = xy$ の多項式として表されることが知られている.
  • $L_1 = 1,$ $L_2 = 3,$ $L_{n+2} = L_n+L_{n+1}$ で定まる数 $L_1,$ $L_2,$ $L_3,$ $\cdots,$ $L_n,$ $\cdots$ を「リュカ数」(Lucas number)と呼ぶ. 一般に, $L_n$ は \[ L_n = \left(\frac{1+\sqrt 5}{2}\right) ^n+\left(\frac{1-\sqrt 5}{2}\right) ^n\] と表されることが知られている. 定義により $L_n$ は整数であり, 本問では $L_2,$ $L_4$ の値を求めた.