COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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平方根

平方根

定義≪平方根≫

 $a$ を $0$ 以上の実数とする. $x^2 = a$ の実数解を $a$ の平方根(square root)と呼び, そのうち $0$ 以上の解を $\sqrt a$ で表す.

定理≪平方根の性質≫

 $a,$ $b$ を正の数, $c$ を実数とする.
(1)
$(\sqrt a)^2 = a$ が成り立つ.
(2)
$\sqrt a\sqrt b = \sqrt{ab},$ $\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$ が成り立つ.
(3)
$\sqrt{c^2} = |c|,$ $\sqrt{c^2a} = |c|\sqrt a$ が成り立つ.
(4)
$(x+y\sqrt a)(x-y\sqrt a) = x^2-ay^2,$ $\dfrac{1}{x+y\sqrt a} = \dfrac{x-y\sqrt a}{x^2-ay^2}$ が成り立つ.

定理≪平方根の無理性≫

 正の整数 $d$ が平方数でないならば, $\sqrt d$ は無理数である.

問題≪$2$ 次体の性質≫

 次のことを示せ.
(1)
正の整数 $d$ が平方数でないならば, $\sqrt d$ は無理数である.
(2)
すべての有理数 $a,$ $b,$ $a',$ $b'$ に対して \[ a+b\sqrt 2 = a'+b'\sqrt 2 \Longrightarrow (a,b) = (a',b')\] が成り立つ.
(3)
多項式 $f_1(x),$ $f_2(x)$ に対して, $f_2(\sqrt 2) \neq 0$ のとき, \[\frac{f_1(\sqrt 2)}{f_2(\sqrt 2)} = a+b\sqrt 2\] を満たす有理数 $a,$ $b$ の組がただ $1$ 組存在する.

解答例

 こちらを参照.

問題≪リュカ数を表す対称式の値≫

 $\alpha = \dfrac{1+\sqrt 5}{2},$ $\beta = \dfrac{1-\sqrt 5}{2}$ について,
(1)
$\alpha +\beta,$ $\alpha\beta$
(2)
$\alpha ^2+\beta ^2$ 
(3)
$\alpha ^4+\beta ^4$ 
の値を求めよ.

解答例

 こちらを参照.