COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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線形漸化式

$2$ 項間線形漸化式

問題≪ハノイの塔≫

 地面に $3$ 本の棒が立てられており, そのうちの $1$ 本に穴の開いた半径の異なる円盤が半径の大きい順に通されている. $1$ 本の棒の最も上にある $1$ 枚を別の棒の最も上に移す操作を $1$ 手と数え, $1$ 本の棒の最も上にある $n$ 枚を別の棒の最も上に移すための手数の最小値を $a_n$ とおく. ただし, いずれの段階においても小さい円盤の上に大きい円盤は置かないとする.
(1)
すべての正の整数 $n$ に対して $a_{n+1} = 2a_n+1$ が成り立つことを説明せよ.
(2)
数列 $\{ a_n\}$ の一般項を求めよ.

解答例

 こちらを参照.

$3$ 項間線形漸化式

問題≪フィボナッチ数列の一般項≫

 $1$ 歩目は $1$ 段だけ上るとし, $2$ 歩目以降は $1$ 歩で $1$ 段上ることも $2$ 段上ることもできるとして, $n$ 段の階段を上る方法の総数を $F_n$ とおく.
(1)
$F_{n+2} = F_n+F_{n+1}$ が成り立つことを示せ.
(2)
数列 $\{ F_{n+1}-\alpha F_n\},$ $\{ F_{n+1}-\beta F_n\}$ がそれぞれ公比 $\beta,$ $\alpha$ の等比数列となるような定数 $\alpha,$ $\beta\ (\alpha < \beta )$ を $1$ 組求めよ.
(3)
数列 $\{ F_n\}$ の一般項を求めよ.

解答例

 こちらを参照.