COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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線形漸化式

$3$ 項間線形漸化式

問題≪フィボナッチ数列の一般項≫

 $1$ 歩目は $1$ 段だけ上るとし, $2$ 歩目以降は $1$ 歩で $1$ 段上ることも $2$ 段上ることもできるとして, $n$ 段の階段を上る方法の総数を $F_n$ とおく.
(1)
$F_{n+2} = F_n+F_{n+1}$ が成り立つことを示せ.
(2)
数列 $\{ F_{n+1}-\alpha F_n\},$ $\{ F_{n+1}-\beta F_n\}$ がそれぞれ公比 $\beta,$ $\alpha$ の等比数列となるような定数 $\alpha,$ $\beta\ (\alpha < \beta )$ を $1$ 組求めよ.
(3)
$F_n$ を $n$ の式で表せ.

解答例

 こちらを参照.