COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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円周率

円周率

定義≪円周率≫

 円の周の長さは, 直径の長さに比例する. その比例定数を円周率(the number pi, Ludolph's number)と呼び, $\pi$ で表す.

定理≪円周率の無理性≫

 円周率 $\pi$ は無理数である.

証明

 こちらを参照.

問題

数学 III: 関数

問題≪マチンの公式≫

(1)
$\tan\alpha = \dfrac{1}{5}$ のとき, $\tan 2\alpha,$ $\tan 4\alpha$ の値を求めよ.
(2)
関数 $\tan x\ \left( -\dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{\pi}{2}\right)$ の逆関数を $\arctan x$ で表すとき, \[\frac{\pi}{4} = 4\arctan\frac{1}{5}-\arctan\frac{1}{239} \quad \cdots [\ast ]\] が成り立つことを示せ.

解答例

 こちらを参照.

数学 III: 極限

問題≪ビエタの公式≫

(1)
すべての角 $\theta$ と正の整数 $n$ に対して \[\cos\frac{\theta}{2}\cdots\cos\frac{\theta}{2^n}\sin\frac{\theta}{2^n} = \frac{1}{2^n}\sin\theta\] が成り立つことを示せ.
(2)
(1) の結果を用いて \[\lim\limits_{n \to \infty}\cos\frac{\pi}{4}\cdots\cos\frac{\pi}{2^{n+1}} = \frac{2}{\pi}\] が成り立つことを示せ.

解答例

 こちらを参照.

問題≪円周率の無理性≫

 $0! = 1$ と定める. 各非負整数 $n$ に対して, \[ I_n = \frac{\pi^{n+1}}{n!}\int_0^1t^n(1-t)^n\sin\pi tdt\] とおく.
(1)
不等式 \[\sum_{k = 0}^n\frac{x^k}{k!} < e^x\] が成り立つことを示せ.
(2)
(1) の不等式を用いて \[\sum_{k = 0}^na^kI_k < \pi e^{a\pi}\] が成り立つことを示せ.
(3)
$I_0,$ $I_1$ の値を求めて, \[ I_{n+2} = \frac{4n+6}{\pi}I_{n+1}-I_n\] が成り立つことを示せ.
(4)
$\pi$ が無理数であることを示したい. 正の整数 $a,$ $b$ によって $\pi = \dfrac{a}{b}$ と表されるとする. このとき, $a^nI_n$ は整数であることを示せ. さらに, これから矛盾を導け.
[2003 大阪大*]

解答例

 こちらを参照.