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真の理解のためのシンプルな数学のノート

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ベータ関数

ベータ関数

定義≪ベータ関数≫

 $B(x,y) = \displaystyle\int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt\ (x,\ y > 0)$ で定まる $x,$ $y$ の関数をベータ関数(beta function)と呼ぶ.
 ベータ関数 $B(x,y)$ の値は, $0 < x < 1$ または $0 < y < 1$ のとき広義積分になるが, $x \geqq 1,$ $y \geqq 1$ のとき単なる定積分である.

定理≪ベータ関数の公式≫

(1)
正の整数 $p,$ $q$ に対して \[ B(p,q) = \int_0^1t^{p-1}(1-t)^{q-1}dt = \frac{(p-1)!(q-1)!}{(p+q-1)!}\] が成り立つ.
(2)
$\alpha < \beta$ なる実数 $\alpha,$ $\beta$ と正の整数 $m,$ $n$ に対して \[\int_\alpha ^\beta (x-\alpha )^m(\beta -x)^n = \frac{m!n!}{(m+n+1)!}(\beta -\alpha )^{m+n+1}\] が成り立つ.

証明

 こちらを参照.

面積の公式

定理≪差の次数が $2$ の整式のグラフで囲まれた図形の面積≫

 整式 $f(x),$ $g(x)$ について, $f(x)-g(x) = a(x-\alpha )(x-\beta )$ ($a \neq 0,$ $\alpha < \beta$)であるとき, $2$ 曲線 $y = f(x),$ $y = g(x)$ で囲まれた図形の面積 $S$ は \[ S = \dfrac{|a|}{6}(\beta -\alpha )^3\] である.

証明

\[\int_\alpha ^\beta (x-\alpha )(x-\beta )dx = -\dfrac{(\beta -\alpha )^3}{6} \quad \cdots [1]\] から直ちに示される. $[1]$ の証明については, こちらを参照. 
 この公式を使うと, 次の定理が容易に証明できる. 

定理≪アルキメデスの定理≫

 放物線 $C$ 上の相異なる $2$ 点 $\mathrm A,$ $\mathrm B$ を結ぶ直線と傾きが等しくなるような $C$ の接線の接点を $\mathrm T$ とおくと, $C$ と直線 $\mathrm{AB}$ で囲まれた図形の面積 $S$ は \[ S = \dfrac{4}{3}\triangle\mathrm{ABT}\] である.

証明

 回転移動と平行移動により, $y = ax^2\ (a > 0)$ の場合に帰着できる. この場合の証明については, こちらを参照. 

問題

数学 II: 積分法

問題≪アルキメデスの定理≫

 $a$ を正の数とし, 放物線 $C:y = ax^2$ 上に相異なる $2$ 点 $\mathrm A(\alpha,a\alpha ^2),$ $\mathrm B(\beta,a\beta ^2)$ をとる. さらに, $C$ 上の点 $\mathrm T(t,at^2)$ を, $C$ の $\mathrm T$ における接線と直線 $\mathrm{AB}$ の傾きが一致するようにとる.
(1)
等式 $\displaystyle\int_\alpha ^\beta (x-\alpha )(x-\beta ) = -\frac{(\beta -\alpha )^3}{6}$ を示せ.
(2)
$\alpha,$ $\beta$ を用いて $t$ を表せ.
(3)
$C$ と直線 $\mathrm{AB}$ で囲まれた図形の面積 $S$ について, $S = \dfrac{4}{3}\triangle\mathrm{ABT}$ が成り立つことを示せ.

解答例

 こちらを参照.

数学 III: 積分法

問題≪ベータ関数と面積≫

 $\alpha,$ $\beta$ を $\alpha < \beta$ なる実数とし, 非負整数 $m,$ $n$ の各組に対して \[ I(m,n) = \int_\alpha ^\beta (x-\alpha )^m(\beta -x)^ndx\] と定める. また, $p,$ $q$ を正の整数とする.
(1)
$I(m,0)$ を求めよ.
(2)
$n \geqq 1$ のとき, $I(m,n) = \dfrac{n}{m+1}I(m+1,n-1)$ が成り立つことを示せ.
(3)
$I(m,n)$ を求めよ.
(4)
$B(p,q) = \displaystyle\int_0^1t^{p-1}(1-t)^{q-1}dt$ を求めよ.
(5)
曲線 $x^{\frac{1}{p}}+y^{\frac{1}{q}} = 1\ (0 \leqq x \leqq 1,\ 0 \leqq y \leqq 1)$ と座標軸で囲まれた図形の面積 $S(p,q)$ を求めよ.
[高知大*, 東京工業大*]

解答例

 こちらを参照.