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真の理解のためのシンプルな数学のノート

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ベータ関数

ベータ関数

定義≪ベータ関数≫

 $B(x,y) = \displaystyle\int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt$ で定まる $x,$ $y$ の関数をベータ関数(beta function)と呼ぶ.
 ベータ関数 $B(x,y)$ の値は, $x < 1$ または $y < 1$ のとき広義積分になるが, $x \geqq 1,$ $y \geqq 1$ のとき単なる定積分である.

定理≪ベータ関数の公式≫

(1)
正の整数 $p,$ $q$ に対して \[ B(p,q) = \int_0^1t^{p-1}(1-t)^{q-1}dt = \frac{(p-1)!(q-1)!}{(p+q-1)!}\] が成り立つ.
(2)
$\alpha < \beta$ なる実数 $\alpha,$ $\beta$ と正の整数 $m,$ $n$ に対して \[\int_\alpha ^\beta (x-\alpha )^m(\beta -x)^n = \frac{m!n!}{(m+n+1)!}(\beta -\alpha )^{m+n+1}\] が成り立つ.

証明

 こちらを参照.

面積の公式

定理≪差の次数が $2$ の整式のグラフで囲まれた図形の面積≫

 整式 $f(x),$ $g(x)$ について, $f(x)-g(x) = a(x-\alpha )(x-\beta )$ ($a \neq 0,$ $\alpha < \beta$)であるとき, $2$ 曲線 $y = f(x),$ $y = g(x)$ で囲まれた図形の面積 $S$ は \[ S = \dfrac{|a|}{6}(\beta -\alpha )^3\] である.

証明

\[\int_\alpha ^\beta (x-\alpha )(x-\beta )dx = -\dfrac{(\beta -\alpha )^3}{6} \quad \cdots [1]\] から直ちに示される. $[1]$ の証明については, こちらを参照. 
 この公式を使うと, 次の定理が容易に証明できる. 

定理≪アルキメデスの定理≫

 放物線 $C$ 上の相異なる $2$ 点 $\mathrm A,$ $\mathrm B$ を結ぶ直線と傾きが等しくなるような $C$ の接線の接点を $\mathrm T$ とおくと, $C$ と直線 $\mathrm{AB}$ で囲まれた図形の面積 $S$ は \[ S = \dfrac{4}{3}\triangle\mathrm{ABT}\] である.

証明

 回転移動と平行移動により, $y = ax^2\ (a > 0)$ の場合に帰着できる. この場合の証明については, こちらを参照. 

問題

数学 II: 積分法

問題≪アルキメデスの定理≫

 $a$ を正の数とし, 放物線 $C:y = ax^2$ 上に相異なる $2$ 点 $\mathrm A(\alpha,a\alpha ^2),$ $\mathrm B(\beta,a\beta ^2)$ をとる. さらに, $C$ 上の点 $\mathrm T(t,at^2)$ を, $C$ の $\mathrm T$ における接線と直線 $\mathrm{AB}$ の傾きが一致するようにとる.
(1)
等式 $\displaystyle\int_\alpha ^\beta (x-\alpha )(x-\beta ) = -\frac{(\beta -\alpha )^3}{6}$ を示せ.
(2)
$\alpha,$ $\beta$ を用いて $t$ を表せ.
(3)
$C$ と直線 $\mathrm{AB}$ で囲まれた図形の面積 $S$ について, $S = \dfrac{4}{3}\triangle\mathrm{ABT}$ が成り立つことを示せ.

解答例

(1)
$t = x-\alpha$ と置換して左辺を計算すると, \begin{align*} \int_\alpha ^\beta (x-\alpha )(x-\beta )dx &= \int_0^{\beta -\alpha}t(t+\alpha -\beta )dt \\ &= \int_0^{\beta -\alpha}\{ t^2-(\beta -\alpha )t\} dt \\ &= \left[\frac{t^3}{3}-(\beta -\alpha )\frac{t^2}{2}\right] _0^{\beta -\alpha} \\ &= -\frac{(\beta -\alpha )^3}{6} \quad \cdots [1] \end{align*} となる.
(2)
$y = ax^2$ を微分すると, $y' = 2ax$ となる.
よって, $C$ の点 $\mathrm T$ における接線の傾きについて \[ 2at = \frac{a\beta ^2-a\alpha ^2}{\beta -\alpha} = a(\alpha +\beta )\] が成り立つから, $t$ は \[ t = \frac{\alpha +\beta}{2}\] と表される.
(3)
$\alpha < \beta$ とする(一般性は失われない). 直線 $\mathrm{AB}$ の方程式は \[ y-a\alpha ^2 = \frac{a\beta ^2-a\alpha ^2}{\beta -\alpha}(x-\alpha )\] つまり \[ y = a(\alpha +\beta )x-a\alpha\beta\] であるから, $[1]$ により \begin{align*} S &= \int_\alpha ^\beta \{ a(\alpha +\beta )x-a\alpha\beta -ax^2\}dx \\ &= -a\int_\alpha^\beta (x-\alpha )(x-\beta )dx \\ &= \frac{a}{6}(\beta -\alpha )^3 \end{align*} である.
また, 点 $\mathrm A,$ $\mathrm B$ を $x$ 軸方向に $-\dfrac{\alpha +\beta}{2},$ $y$ 軸方向に $-\dfrac{a(\alpha +\beta )^2}{4}$ だけ平行移動した点をそれぞれ $\mathrm A',$ $\mathrm B'$ とおくと, $\triangle\mathrm{ABT}$ の面積は $\triangle\mathrm{OA}'\mathrm B'$ の面積に等しい. $\mathrm A'\left(\dfrac{\alpha -\beta}{2},a\cdot\dfrac{4\alpha ^2-(\alpha +\beta )^2}{4}\right),$ $\mathrm B'\left(\dfrac{\beta -\alpha}{2},a\cdot\dfrac{4\beta ^2-(\alpha +\beta )^2}{4}\right)$ であるから, \begin{align*} \triangle\mathrm{ABT} &= \triangle\mathrm{OA}'\mathrm B' \\ &= \frac{1}{2}\left|\frac{\alpha -\beta}{2}\times a\cdot\dfrac{4\beta ^2-(\alpha +\beta )^2}{4}\right. \\ &\qquad \left.-a\cdot\dfrac{4\alpha ^2-(\alpha +\beta )^2}{4}\times\dfrac{\beta -\alpha}{2}\right| \\ &= \frac{1}{2}\cdot\frac{a}{4}\cdot\frac{\beta -\alpha}{2}|2(\alpha +\beta )^2-4\alpha ^2-4\beta ^2| \\ &= \frac{a}{8}(\beta -\alpha )^3 \end{align*} である. ゆえに, \[ S = \frac{4}{3}\cdot\frac{a}{8}(\beta -\alpha )^3 = \frac{4}{3}\triangle\mathrm{ABT}\] が成り立つ.

背景

 (3) で示した等式は「アルキメデスの定理」(Archimedes' theorem)として有名である. 放物線と直線で囲まれた図形の面積を三角形の面積から求められる, 当時としては画期的な公式である.

数学 III: 積分法

問題≪ベータ関数と面積≫

 $\alpha,$ $\beta$ を $\alpha < \beta$ なる実数とし, 非負整数 $m,$ $n$ の各組に対して \[ I(m,n) = \int_\alpha ^\beta (x-\alpha )^m(\beta -x)^ndx\] と定める. また, $p,$ $q$ を正の整数とする.
(1)
$I(m,0)$ を求めよ.
(2)
$n \geqq 1$ のとき, $I(m,n) = \dfrac{n}{m+1}I(m+1,n-1)$ が成り立つことを示せ.
(3)
$I(m,n)$ を求めよ.
(4)
$B(p,q) = \displaystyle\int_0^1t^{p-1}(1-t)^{q-1}dt$ を求めよ.
(5)
曲線 $x^{\frac{1}{p}}+y^{\frac{1}{q}} = 1\ (0 \leqq x \leqq 1,\ 0 \leqq y \leqq 1)$ と座標軸で囲まれた図形の面積 $S(p,q)$ を求めよ.
[高知大*, 東京工業大*]

解答例

(1)
\begin{align*} I(m,0) &= \int_\alpha ^\beta (x-\alpha )^m = \left[\frac{(x-\alpha )^{m+1}}{m+1}\right] _\alpha ^\beta \\ &= \frac{(\beta -\alpha )^{m+1}}{m+1} \quad \cdots [1] \end{align*} である.
(2)
$n \geqq 1$ のとき, \begin{align*} I(m,n) &= \int_\alpha ^\beta\left\{\frac{(x-\alpha )^{m+1}}{m+1}\right\} '(\beta -x)^ndx \\ &= \left[\frac{(x-\alpha )^{m+1}}{m+1}(\beta -x)^n\right] _\alpha ^\beta \\ &\qquad -\int_\alpha ^\beta\frac{(x-\alpha )^{m+1}}{m+1}n(\beta -x)^{n-1}(-1)dx \\ &= \frac{n}{m+1}\int_\alpha ^\beta (x-\alpha )^{m+1}(\beta -x)^{n-1}dx \\ &= \frac{n}{m+1}I(m+1,n-1) \quad \cdots [2] \end{align*} が成り立つ.
(3)
$[1],$ $[2]$ から, \begin{align*} I(m,n) &= \frac{n}{m+1}\cdots \frac{1}{m+n}I(m+n,0) \quad (\because [2]) \\ &= \frac{m!n!}{(m+n)!}\cdot\frac{(\beta -\alpha )^{m+n+1}}{m+n+1} \quad (\because [1]) \\ &= \frac{m!n!}{(m+n+1)!}(\beta -\alpha )^{m+n+1} \quad \cdots [3] \end{align*} が成り立つ.
(4)
$\alpha = 0,$ $\beta = 1$ の場合を考えると, $[3]$ から \[ B(p,q) = I(p-1,q-1) = \frac{(p-1)!(q-1)!}{(p+q-1)!} \quad \cdots [4]\] が得られる.
(5)
$x^{\frac{1}{p}}+y^{\frac{1}{q}} = 1$ のとき, $y = (1-x^{\frac{1}{p}})^q$ から \[ S(p,q) = \int_0^1(1-x^{\frac{1}{p}})^qdx\] である. $t = x^{\frac{1}{p}}$ と置換すると, $[4]$ から \begin{align*} S(p,q) &= \int_0^1(1-t)^qpt^{p-1}dt = p\cdot B(p,q+1) \\ &= p\cdot\frac{(p-1)!q!}{(p+q)!} = \frac{p!q!}{(p+q)!} \end{align*} が得られる.

背景

 $B(x,y) = \displaystyle\int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt$ で定まる $x,$ $y$ の関数を「ベータ関数」(beta function)と呼ぶ. その値 $B(x,y)$ は, $x < 1$ または $y < 1$ のとき「広義積分」(improper integral), つまり定積分の極限 $\displaystyle\lim\limits_{a \to +0}\lim\limits_{b \to 1-0}\int_a^bt^{x-1}(1-t)^{y-1}dt$ として定義されるが, $x \geqq 1,$ $y \geqq 1$ のとき単なる定積分である. この問題では, $p,$ $q$ が正の整数の場合に $B(p,q)$ を求めた. この場合には, $B(p,q)$ は面積の計算でおなじみの定積分
$\displaystyle\int_\alpha ^\beta (x-\alpha )^m(x-\beta )^ndx$ ($m,$ $n$: 非負整数)
と密接な関係がある.