COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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面積(数学 II)

面積

定理≪$2$ つの関数のグラフと $x = a,$ $x = b$ が囲む図形の面積≫

 $a,$ $b$ を $a < b$ なる実数とし, $f(x),$ $g(x)$ を整式とする. 曲線 $y = f(x),$ $y = g(x)$ と直線 $x = a,$ $x = b$ で囲まれた図形の面積 $S$ は, \[ S = \int_a^b|f(x)-g(x)|dx\] である.

問題≪アルキメデスの定理≫

 $a$ を正の数とし, 放物線 $C:y = ax^2$ 上に相異なる $2$ 点 $\mathrm A(\alpha,a\alpha ^2),$ $\mathrm B(\beta,a\beta ^2)$ をとる. さらに, $C$ 上の点 $\mathrm T(t,at^2)$ を, $C$ の $\mathrm T$ における接線と直線 $\mathrm{AB}$ の傾きが一致するようにとる.
(1)
等式 $\displaystyle\int_\alpha ^\beta (x-\alpha )(x-\beta ) = -\frac{(\beta -\alpha )^3}{6}$ を示せ.
(2)
$\alpha,$ $\beta$ を用いて $t$ を表せ.
(3)
$C$ と直線 $\mathrm{AB}$ で囲まれた図形の面積 $S$ について, $S = \dfrac{4}{3}\triangle\mathrm{ABT}$ が成り立つことを示せ.

解答例

 こちらを参照.