COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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面積(数学 II)

面積

定理≪$2$ つの関数のグラフと $x = a,$ $x = b$ が囲む図形の面積≫

 $a,$ $b$ を $a < b$ なる実数とし, $f(x),$ $g(x)$ を整式とする. 曲線 $y = f(x),$ $y = g(x)$ と直線 $x = a,$ $x = b$ で囲まれた図形の面積 $S$ は, \[ S = \int_a^b|f(x)-g(x)|dx\] である.

問題≪アルキメデスの定理≫

 $a$ を正の数とし, 放物線 $C:y = ax^2$ 上に相異なる $2$ 点 $\mathrm A(\alpha,a\alpha ^2),$ $\mathrm B(\beta,a\beta ^2)$ をとる. さらに, $C$ 上の点 $\mathrm T(t,at^2)$ を, $C$ の $\mathrm T$ における接線と直線 $\mathrm{AB}$ の傾きが一致するようにとる.
(1)
等式 $\displaystyle\int_\alpha ^\beta (x-\alpha )(x-\beta ) = -\frac{(\beta -\alpha )^3}{6}$ を示せ.
(2)
$\alpha,$ $\beta$ を用いて $t$ を表せ.
(3)
$C$ と直線 $\mathrm{AB}$ で囲まれた図形の面積 $S$ について, $S = \dfrac{4}{3}\triangle\mathrm{ABT}$ が成り立つことを示せ.

解答例

 こちらを参照.

問題≪放物線と $2$ 接線で囲まれた図形の面積≫

 $a,$ $b,$ $c$ $(a \neq 0)$ を実数とする. $2$ 次関数 $f(x) = ax^2+bx+c$ について, 次のことを示せ.
(1)
放物線 $y = f(x)$ とその点 $(\alpha,f(\alpha))$ における接線, 直線 $x = p$ で囲まれた図形の面積 $S$ は \[ S = \frac{|a|}{3}|p-\alpha |^3\] である.
(2)
放物線 $y = f(x)$ とその点 $(\alpha,f(\alpha)),$ $(\beta,f(\beta ))$ $(\alpha < \beta )$ における接線で囲まれた図形の面積 $S$ は \[ S = \frac{|a|}{12}(\beta -\alpha )^3\] である.

解答例

(1)
$f'(x) = 2ax+b$ であるから, 放物線 $y = f(x)$ の点 $(\alpha,f(\alpha ))$ における接線の方程式は, \[ y-(a\alpha ^2+b\alpha +c) = (2a\alpha +b)(x-\alpha )\] つまり \[ y = (2a\alpha +b)x-a\alpha ^2+c\] である. この右辺を $g(x)$ とおくと, \begin{align*} &f(x)-g(x) \\ &= (ax^2+bx+c)-\{ (2a\alpha +b)x-a\alpha ^2+c\} \\ &= ax^2-2a\alpha x+a\alpha ^2 = a(x-\alpha )^2 \end{align*} となるから, \begin{align*} S &= \left|\int_\alpha ^p\{ f(x)-g(x)\} dx\right| = \left|a\int_\alpha ^p(x-\alpha )^2dx\right| \\ &= \left|a\left[\frac{(x-\alpha )^3}{3}\right] _\alpha ^p\right| = \frac{|a|}{3}|p-\alpha |^3 \end{align*} が成り立つ.
(2)
放物線 $y = f(x)$ の点 $(\beta,f(\beta ))$ における接線の方程式は, \[ y = (2a\beta +b)x-a\beta ^2+c\] である. よって, $2$ 本の接線の交点の $x$ 座標は, \[ (2a\alpha +b)x-a\alpha ^2+c = (2a\beta +b)x-a\beta ^2+c\] の解であるから, $a \neq 0,$ $\alpha \neq \beta$ に注意すると, \[ x = \frac{a(\beta ^2-\alpha ^2)}{2a(\beta -\alpha )} = \frac{\alpha +\beta}{2}\] である. $y = f(x)$ と $2$ 本の接線で囲まれた図形の面積は, 直線 $x = \dfrac{\alpha +\beta}{2}$ で $2$ つに分けて考えると, (1) の結果から \begin{align*} S &= \frac{|a|}{3}\left(\frac{\alpha +\beta}{2}-\alpha\right) ^3+\frac{|a|}{3}\left(\beta -\frac{\alpha +\beta}{2}\right) ^3 \\ &= 2\cdot\frac{|a|}{3}\left(\frac{\beta -\alpha}{2}\right) ^3 = \frac{|a|}{12}(\beta -\alpha )^3 \end{align*} であることがわかる.