COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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楕円

楕円

定義≪楕円≫

 平面上で, 相異なる $2$ 定点 $\mathrm F,$ $\mathrm F'$ からの距離の和が一定である点の軌跡 $C$ を楕円(ellipse)と呼び, $\mathrm F,$ $\mathrm F'$ を $C$ の焦点(focus)と呼ぶ. 直線 $\mathrm{FF}'$ の $C$ によって切り取られる部分の線分を $C$ の長軸(major axis), 長軸の垂直二等分線の $C$ によって切り取られる部分の線分を $C$ の短軸(minor axis)と呼ぶ. また, 長軸と短軸の交点を $C$ の中心(center)と呼び, 長軸と短軸の各端点を頂点(vertex)と呼ぶ.

定理≪楕円の標準形≫

 楕円 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} = 1$ の中心は原点であり, $C$ は $x$ 軸, $y$ 軸, 原点に関して対称である.
(i)
$a > b > 0$ のとき. $C$ の焦点は $(\pm\sqrt{a^2-b^2},0),$ 長軸の長さは $2a,$ 短軸の長さは $2b$ であり, $C$ の $2$ つの焦点から $C$ の各点までの距離の和は $2a$ である.
(ii)
$b > a > 0$ のとき. $C$ の焦点は $(0,\pm\sqrt{b^2-a^2}),$ 長軸の長さは $2b,$ 短軸の長さは $2a$ であり, $C$ の $2$ つの焦点から $C$ の各点までの距離の和は $2b$ である.

問題≪楕円の特徴づけ≫

(A)
$a > c > 0$ とする. $2$ 点 $\mathrm F(c,0),$ $\mathrm F'(-c,0)$ からの距離の和が $2a$ であるような点 $\mathrm P$ の軌跡の方程式を求めよ.
(B)
$a,$ $b$ を正の数とする. $x$ 軸上の点 $\mathrm P$ と $y$ 軸上の点 $\mathrm Q$ が $\mathrm{PQ} = a+b$ を満たしながら動くとき, 線分 $\mathrm{PQ}$ を $b:a$ に内分する点 $\mathrm R$ の軌跡の方程式を求めよ.
(C)
単位円を $x$ 軸方向に $a$ 倍に, $y$ 軸方向に $b$ 倍に拡大または縮小した曲線の方程式を求めよ.

解答例

(A)
\begin{align*} &\mathrm{FP}+\mathrm F'\mathrm P = 2a \\ &\iff \mathrm{FP} = 2a-\mathrm F'\mathrm P \\ &\iff \sqrt{(x-c)^2+y^2} = 2a-\sqrt{(x+c)^2+y^2} \\ &\iff (x-c)^2+y^2 \\ &\qquad\quad = 4a^2-4a\sqrt{(x+c)^2+y^2}+(x+c)^2+y^2 \\ &\iff 4a\sqrt{(x+c)^2+y^2} = 4cx+4a^2 \\ &\iff a\sqrt{(x+c)^2+y^2} = cx+a^2 \\ &\iff a^2(x+c)^2+a^2y^2 = c^2x^2+2a^2cx+a^4 \\ &\iff (a^2-c^2)x^2+a^2y^2 = a^2(a^2-c^2) \\ &\iff \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2} = 1 \end{align*} から, 点 $\mathrm P$ の軌跡の方程式は $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{a^2-c^2} = 1$ である.
(B)
$\mathrm P(p,0),$ $\mathrm Q(0,q),$ $\mathrm R(x,y)$ とおく.
このとき, 条件 $\mathrm{PQ} = a+b$ から, \[ p^2+q^2 = (a+b)^2 \quad \cdots [1]\] が成り立つ. また, 点 $\mathrm R$ は線分 $\mathrm{PQ}$ を $b:a$ に内分する点であるから, \[ x = \frac{a}{a+b}p, \quad y = \frac{b}{a+b}q\] が成り立つ. よって, \[ p = \frac{a+b}{a}x, \quad q = \frac{a+b}{b}y \quad \cdots [2]\] であるから, $[1]$ に $[2]$ を代入すると \[\frac{(a+b)^2}{a^2}x^2+\frac{(a+b)^2}{b^2}y^2 = (a+b)^2\] となり, 点 $\mathrm R$ の軌跡の方程式 \[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1\] が得られる.
(C)
単位円を $x$ 軸方向に $a$ 倍に, $y$ 軸方向に $b$ 倍に拡大または縮小するとき, 点 $(X,Y)$ が点 $(x,y)$ に移るとする. このとき, \[ X^2+Y^2 = 1, \quad x = aX, \quad y = bY\] が成り立つから, $X^2+Y^2 = 1$ に $X = \dfrac{x}{a},$ $Y = \dfrac{y}{b}$ を代入すると, 求める曲線の方程式 \[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1\] が得られる.

背景

 (A) のように $2$ 定点からの距離の和が一定である点の軌跡が楕円の定義であるが, (B), (C) のように楕円を定めることもできる.

問題≪楕円に外接する長方形の面積の最大値≫

 $a,$ $b$ を正の数とする. 楕円 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} = 1$ に $4$ 辺が接する長方形 $R$ について, 次の問いに答えよ.
(1)
$R$ の対角線の長さ $L$ は $R$ の取り方によらず一定であることを示せ.
(2)
$R$ の面積 $S$ の最大値を求めよ.

解答例

(1)
$l:y = mx+n$ ($m,$ $n$: 実数) を $C$ の接線とする. このとき, 接点の $x$ 座標は $x$ の $2$ 次方程式 \[ b^2x^2+a^2(mx+n)^2-a^2b^2 = 0 \quad \cdots [1]\] の重解であり, $[1]$ の判別式 $D$ について \[\frac{D}{4} = a^4m^2n^2-(a^2m^2+b^2)a^2(n^2-b^2) = 0\] が成り立つから, \[ n = \pm\sqrt{a^2m^2+b^2}\] である. $m \neq 0$ のとき, 原点と接線 \[ l:mx-y\pm\sqrt{a^2m^2+b^2} = 0\] の距離を $d(m)$ とおくと, \[ d(m) = \frac{|\pm\sqrt{a^2m^2+b^2}|}{\sqrt{m^2+1}} = \sqrt{\frac{a^2m^2+b^2}{m^2+1}}\] となる. よって, $R$ の辺の傾きが $m,$ $-m^{-1}$ $(m \neq 0)$ であるとき, その対角線の長さは \begin{align*} L &= 2\sqrt{d(m)^2+d(-m^{-1})^2} \\ &= 2\sqrt{\frac{a^2m^2+b^2}{m^2+1}+\frac{a^2m^{-2}+b^2}{m^{-2}+1}} \\ &= 2\sqrt{\frac{a^2m^2+b^2}{m^2+1}+\frac{a^2+b^2m^2}{1+m^2}} \\ &= 2\sqrt{\frac{(m^2+1)(a^2+b^2)}{m^2+1}} \\ &= 2\sqrt{a^2+b^2} \end{align*} であり, $R$ の取り方によらず一定である.
これは, $R$ の各辺が座標軸に平行なとき, つまり $R$ が $4$ 直線 $x = \pm a,$ $y = \pm b$ で囲まれた長方形であるときも含めて成り立つ.
(2)
(i)
$R$ の各辺が座標軸に平行なとき. $R$ の面積は \[ S = 2a\cdot 2b = 4ab\] である.
(ii)
$R$ の辺の傾きが $m,$ $-m^{-1}$ であるとき. $R$ の面積は \begin{align*} S &= 2d(m)\cdot 2d(-m^{-1}) \\ &= 4\sqrt{\frac{a^2m^2+b^2}{m^2+1}}\sqrt{\frac{a^2m^{-2}+b^2}{m^{-2}+1}} \\ &= 4\sqrt{\frac{a^4+b^4+a^2b^2(m^2+m^{-2})}{m^2+2+m^{-2}}} \\ &= 4\sqrt{\frac{a^4\!-\!2a^2b^2\!+\!b^4\!+\!a^2b^2(m^2\!+\!2\!+\!m^{-2})}{m^2\!+\!2\!+\!m^{-2}}} \\ &= 4\sqrt{\frac{(a^2-b^2)^2}{(m+m^{-1})^2}+a^2b^2} \\ &\leqq 4\sqrt{\frac{(a^2-b^2)^2}{4}+a^2b^2} = 4\sqrt{\frac{(a^2+b^2)^2}{4}} \\ &= 2(a^2+b^2) \end{align*} である. 不等号は \[ m+m^{-1} \geqq 2\sqrt{m\cdot m^{-1}} = 2\] から従い, その等号は $m = m^{-1},$ $m^2 = 1,$ つまり $m = \pm 1$ のとき成り立つ.
(i), (ii) と \[ 2(a^2+b^2)-4ab = 2(a-b)^2 \geqq 0\] から, $S$ の最大値は $2(a^2+b^2)$ である.

別解

(1)
楕円 $C$ の点 $\mathrm T(a\cos t,b\sin t)$ ($t$: 実数)における接線 $l$ は \[\frac{\cos t}{a}x+\frac{\sin t}{b}y = 1 \quad \cdots [1]\] と表される. 原点 $\mathrm O$ から $l$ に下した垂線の足を
$\mathrm H(r\cos\theta,r\sin\theta )$ ($r > 0,$ $\theta$: 実数)
とおく.
$l$ は, 点 $\mathrm H$ を通り, ベクトル $(\cos\theta,\sin\theta )$ に垂直なので, \[(x-r\cos\theta )\cos\theta +(y-r\sin\theta )\sin\theta = 0\] つまり \[\frac{\cos\theta}{r}x+\frac{\sin\theta}{r}y = 1 \quad \cdots [2]\] と表すこともできる. $[1],$ $[2]$ から \[\frac{\cos t}{a} = \frac{\cos\theta}{r}, \quad \frac{\sin t}{b} = \frac{\sin\theta}{r}\] が成り立つので, $\cos ^2t+\sin ^2t = 1$ から \[\frac{a^2\cos ^2\theta}{r^2}+\frac{b^2\sin ^2\theta}{r^2} = 1\] つまり \[ a^2\cos ^2\theta +b^2\sin ^2\theta = r^2\] が得られる. よって, \[\mathrm{OH} = \sqrt{a^2\cos ^2\theta +b^2\sin ^2\theta}\] が成り立つ. また, $l$ に垂直な $C$ の接線 $l'$ として, 原点 $\mathrm O$ から接線に下した垂線の足が \[\mathrm H'\left( r\cos\left(\theta +\dfrac{\pi}{2}\right),r\sin\left(\theta +\dfrac{\pi}{2}\right)\right)\] であるようなものがとれて, \begin{align*} \mathrm{OH}' &= \sqrt{a^2\cos ^2\left(\theta +\frac{\pi}{2}\right) +b^2\sin ^2\left(\theta +\frac{\pi}{2}\right)} \\ &= \sqrt{a^2\sin ^2\theta +b^2\cos ^2\theta} \end{align*} が成り立つ. ゆえに, $R$ の隣り合う $2$ 辺が $l,$ $l'$ 上にあるとき, その対角線の長さは \begin{align*} L &= 2\sqrt{\mathrm{OH}^2+{\mathrm{OH}'}^2} \\ &= 2\sqrt{(a^2\cos ^2\theta\!+\!b^2\sin ^2\theta )\!+\!(a^2\sin ^2\theta\!+\!b^2\cos ^2\theta )} \\ &= 2\sqrt{a^2+b^2} \end{align*} であり, $R$ の取り方によらず一定である.
(2)
$R$ の隣り合う $2$ 辺が(1)の $l,$ $l'$ $\left( -\dfrac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}\right)$ 上にあるとき, その面積は \begin{align*} S &= 2\mathrm{OH}\cdot 2\mathrm{OH}' \\ &= 4\sqrt{a^2\cos ^2\theta +b^2\sin ^2\theta}\sqrt{a^2\sin ^2\theta +b^2\cos ^2\theta } \\ &= 4\sqrt{(a^4+b^4)\cos ^2\theta\sin ^2\theta +a^2b^2(\cos ^4\theta +\sin ^4\theta )} \\ &= 4\sqrt{\!(a^4\!+\!b^4)\cos ^2\!\theta\sin ^2\!\theta\!+\!a^2b^2(1\!-\!2\cos ^2\!\theta\sin ^2\!\theta )} \\ &= 4\sqrt{a^2b^2+(a^4+b^4-2a^2b^2)\cos ^2\theta\sin ^2\theta} \\ &= 4\sqrt{a^2b^2+\frac{(a^2-b^2)^2}{4}\sin ^22\theta} \end{align*} である. $\sin ^22\theta = 1$ つまり $\theta = \pm\dfrac{\pi}{4}$ のとき, $S$ は最大値 \[ 4\sqrt{a^2b^2\!+\!\frac{(a^2\!-\!b^2)^2}{4}} = 4\sqrt{\frac{(a^2\!+\!b^2)^2}{4}} = 2(a^2\!+\!b^2)\] をとる.

背景

 (1) の結果から, 楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} = 1$ の直交する接線の交点の軌跡は円 $x^2+y^2 = a^2+b^2$ になることがわかる. これを楕円の「準円」(director circle, orthoptic circle)と呼ぶ.