COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

数式を枠からはみ出さずに表示するためには, 画面を横に傾けてください(532 ピクセル以上推奨).

極座標

極座標

問題≪$2$ 次曲線の弦の性質≫

 $1$ つの焦点 $\mathrm F$ を極とする極座標で $r = \dfrac{l}{1+e\cos\theta}$ と表される $2$ 次曲線 $C$ について, 次のことを示せ.
(A)
$C$ の弦 $\mathrm P_1\mathrm P_2$ について, 焦点 $\mathrm F$ が $\mathrm P_1\mathrm P_2$ 上にあることと, $\dfrac{1}{\mathrm{FP}_1}+\dfrac{1}{\mathrm{FP}_2} = \dfrac{2}{l}$ が成り立つことは同値である.
(B)
$C$ の焦点 $\mathrm F$ を通る弦 $\mathrm P_1\mathrm P_2,$ $\mathrm P_3\mathrm P_4$ について, $\mathrm P_1\mathrm P_2,$ $\mathrm P_3\mathrm P_4$ が直交することと, $\dfrac{1}{\mathrm{FP}_1\cdot\mathrm{FP}_2}+\dfrac{1}{\mathrm{FP}_3\cdot\mathrm{FP}_4} = \dfrac{2-e^2}{l^2}$ が成り立つことは同値である.

解答例

 点 $\mathrm P_k$ の極座標を $(r_k,\theta _k)$ とおく. このとき, $r_k = \dfrac{l}{1+e\cos\theta _k}$ である.
(A)
\begin{align*} \frac{1}{\mathrm{FP}_1}\!+\!\frac{1}{\mathrm{FP}_2} &= \frac{1}{r_1}\!+\!\dfrac{1}{r_2} = \frac{1\!+\!e\cos\theta _1}{l}\!+\!\frac{1\!+\!e\cos\theta _2}{l} \\ &= \frac{2\!+\!e(\cos\theta _1\!+\!\cos\theta _2)}{l} \end{align*} であるから, \begin{align*} \frac{1}{\mathrm{FP}_1}+\frac{1}{\mathrm{FP}_2} = 2 &\iff \frac{2+e(\cos\theta _1+\cos\theta _2)}{l} = \frac{2}{l} \\ &\iff e(\cos\theta _1+\cos\theta _2) = 0 \\ &\iff \cos\theta _2 = -\cos\theta _1 \\ &\iff \theta _2 = \theta _1+n\pi\ (n\text{: 整数}) \\ &\iff \mathrm F \in \mathrm P_1\mathrm P_2 \end{align*} が成り立つ.
(B)
弦 $\mathrm P_1\mathrm P_2,$ $\mathrm P_3\mathrm P_4$ が焦点 $\mathrm F$ を通ることから $\theta _2 = \theta _1+\pi,$ $\theta _4 = \theta _3+\pi$ とおけるので, \begin{align*} r_2 &= \dfrac{l}{1+e\cos (\theta _1+\pi )} = \dfrac{l}{1-e\cos\theta _1}, \\ r_4 &= \dfrac{l}{1+e\cos (\theta _3+\pi )} = \dfrac{l}{1-e\cos\theta _3} \end{align*} が成り立つ. よって, \begin{align*} &\frac{1}{\mathrm{FP}_1\cdot\mathrm{FP}_2}+\frac{1}{\mathrm{FP}_3\cdot\mathrm{FP}_4} \\ &= \frac{1}{r_1}\cdot\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_3}\cdot\frac{1}{r_4} \\ &= \frac{1\!+\!e\cos\theta _1}{l}\!\cdot\!\frac{1\!-\!e\cos\theta _1}{l}\!+\!\frac{1\!+\!e\cos\theta _3}{l}\!\cdot\!\frac{1\!-\!e\cos\theta _3}{l} \\ &= \frac{1-e^2\cos ^2\theta _1}{l^2}+\frac{1-e^2\cos ^2\theta _3}{l^2} \\ &= \frac{2-e^2(\cos ^2\theta _1+\cos ^2\theta _3)}{l^2} \end{align*} であるから, \begin{align*} &\frac{1}{\mathrm{FP}_1\cdot\mathrm{FP}_2}+\frac{1}{\mathrm{FP}_3\cdot\mathrm{FP}_4} = \dfrac{2-e^2}{l^2} \\ &\iff \frac{2-e^2(\cos ^2\theta _1+\cos ^2\theta _3)}{l^2} = \dfrac{2-e^2}{l^2} \\ &\iff \cos ^2\theta _1+\cos ^2\theta _3 = 1 \\ &\iff \cos ^2\theta _3 = 1-\cos ^2\theta _1 \\ &\iff \cos ^2\theta _3 = \sin ^2\theta _1 \\ &\iff \cos\theta _3 = \pm\sin \theta _1 \\ &\iff \theta _3 = \theta _1\pm\frac{n\pi}{2}\ (n\text{: 整数}) \\ &\iff \mathrm P_1\mathrm P_2 \perp \mathrm P_3\mathrm P_4 \end{align*} が成り立つ.

問題≪レムニスケートの極方程式≫

(1)
直交座標表示で, 平面上の点 $\mathrm A(-1,0),$ $\mathrm B(1,0)$ からの距離の積が $1$ である点 $\mathrm P(x,y)$ の軌跡は, $(x^2+y^2)^2 = 2(x^2-y^2)$ と表されることを示せ.
(2)
(1) の点 $\mathrm P$ の軌跡を, 極方程式で表せ.

解答例

(1)
\begin{align*} &\mathrm{AP}\cdot\mathrm{BP} = 1 \\ &\!\!\!\!\!\iff\!\! \mathrm{AP}^2\cdot\mathrm{BQ}^2 = 1 \\ &\!\!\!\!\!\iff\!\! \{ (x+1)^2+y^2\}\{ (x-1)^2+y^2\} = 1 \\ &\!\!\!\!\!\iff\!\! (x\!+\!1)^2\!(x\!-\!1)^2\!\!+\!\{ (x\!+\!1)^2\!\!+\!(x\!-\!1)^2\}y^2\!\!+\!y^4 \!\!=\! 1 \\ &\!\!\!\!\!\iff\!\! (x^2-1)^2+(2x^2+2)y^2+y^4 = 1 \\ &\!\!\!\!\!\iff\!\! (x^4-2x^2+1)+(2x^2y^2+2y^2)+y^4 = 1 \\ &\!\!\!\!\!\iff\!\! x^4+2x^2y^2+y^4 = 2x^2-2y^2 \\ &\!\!\!\!\!\iff\!\! (x^2+y^2)^2 = 2(x^2-y^2) \end{align*} から, 題意が成り立つ.
(2)
$x = r\cos\theta,$ $y = r\sin\theta$ とおくと, \begin{align*} x^2+y^2 &= r^2(\cos ^2\theta +\sin ^2\theta ) = r^2, \\ x^2-y^2 &= r^2(\cos ^2\theta -\sin ^2\theta ) = r^2\cos 2\theta \end{align*} となるから, 点 $\mathrm P$ の軌跡は
$r^4 = 2r^2\cos 2\theta$ つまり $r^2 = 2\cos 2\theta$
と表される.

背景

  • 点 $\mathrm P$ の軌跡は「連珠形」または「レムニスケート」(lemniscate)と呼ばれる.
  • 「レムニスケート」は, 直角双曲線の接線にその対称の中心から下ろした垂線の足の軌跡としても定まる. 実際, 直角双曲線 $x^2-y^2 = 2$ の点 $(p,q)$ における接線 \[ px-qy = 2\ \cdots [1]\] に原点から下ろした垂線の方程式は \[ qx+py = 0\ \cdots[2]\] であり, $[1]\times x+[2]\times y,$ $[1]\times (-y)+[2]\times x$ から \begin{align*} p(x^2+y^2) &= 2x \\ q(x^2+y^2) &= -2y \end{align*} となるので, 辺々を $2$ 乗して引くと \begin{align*} (p^2-q^2)(x^2+y^2)^2 &= 4(x^2-y^2), \\ (x^2+y^2)^2 &= 2(x^2-y^2) \end{align*} が得られる.