COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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速度・加速度

速度

問題≪等角らせんの性質≫

 $a$ を実数とする. 座標平面上を運動する点 $\mathrm P$ の時刻 $t$ における座標が \[ x = e^{at}\cos t, \quad y = e^{at}\sin t \quad \cdots [*]\] で表されるとき, 点 $\mathrm P$ の原点を基点とする位置ベクトル $\vec p = (x,y)$ と, 点 $\mathrm P$ の速度ベクトル $\vec v = (x',y')$ のなす角 $\theta$ は, $t$ によらず一定であることを示せ.
[2000 神戸大*]

解答例

 $x = e^{at}\cos t,$ $y = e^{at}\sin t$ を $t$ で微分すると \begin{align*} \frac{dx}{dt} &= ae^{at}\cos t-e^{at}\sin t = e^{at}(a\cos t-\sin t), \\ \frac{dy}{dt} &= ae^{at}\sin t+e^{at}\cos t = e^{at}(a\sin t+\cos t) \end{align*} となるから, \begin{align*} \vec p\cdot\vec v &= xx'+yy' \\ &= e^{2at}\{\cos t(a\cos t-\sin t)+\sin t(a\sin t+\cos t)\} \\ &= e^{2at}\cdot a(\cos ^2t+\sin ^2t) \\ &= ae^{2at}, \\ |\vec p| &= \sqrt{x^2+y^2} = e^{at}\sqrt{\cos ^2t+\sin ^2t} = e^{at}, \\ |\vec v| &= \sqrt{{x'}^2+{y'}^2} \\ &= e^{at}\sqrt{(a\cos t -\sin t)^2+(a\sin t +\cos t)^2} \\ &= e^{at}\sqrt{a^2(\cos ^2t+\sin ^2t)+(\sin ^2t+\cos ^2t)} \\ &= e^{at}\sqrt{a^2+1} \end{align*} である. よって, $\vec p,$ $\vec v$ の成す角 $\theta$ について \[\cos\theta = \frac{\vec p\cdot\vec v}{|\vec p||\vec v|} = \frac{ae^{2at}}{e^{at}\cdot e^{at}\sqrt{a^2+1}} = \frac{a}{\sqrt{a^2+1}}\] は $t$ によらない定数であるから, $\theta$ は一定である.

背景

  • 曲線 $[*]$ は, 上記の性質から「等角らせん」(equiangular spiral)と呼ばれ, また「対数らせん」(logarithmic spiral), 「ベルヌーイらせん」(Bernoulli spiral)とも呼ばれる.
  • 上記の「等角らせん」の性質を応用して, 刃の成す角が一定になるようなはさみ「フィットカットカーブ」(プラス株式会社)が実用化されている.