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真の理解のためのシンプルな数学のノート

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関数の増減・曲線の凹凸

関数の増減・曲線の凹凸

問題≪$x \to \infty$ のとき $f(x) \to \infty$ となる条件≫

 実数 $a$ を含む開区間 $(a-\varepsilon,\infty )\ (\varepsilon > 0)$ において, 関数 $f(x)$ は微分可能であり, $2$ 次導関数をもつとする. このとき,
(i)
$f'(a) > 0$ 
(ii)
$f''(x) > 0 \quad (x \geqq a)$ 
(iii)
$\lim\limits_{x \to \infty}f(x) = \infty$ 
という $3$ つの条件を考える.
(1)
(i), (ii) が成り立てば, (iii) が成り立つことを示せ.
(2)
(ii) のみでは (iii) は成り立たない. その例を挙げよ.
[津田塾大*]

解答例

(1)
(i), (ii) を仮定する. 平均理の定理により, $x > a+1$ なる各実数 $x$ に対して, \[\frac{f(x)-f(a+1)}{x-a-1} = f'(c)\] つまり \[ f(x) = f(a+1)+(x-a-1)f'(c)\] を満たす実数 $c$ が $a+1 < c < x$ の範囲に存在する. (ii) から $f'(x)$ は $x \geqq a$ において単調増加であるので, このとき $f'(c) > f'(a+1)$ であり, \[ f(x) > f(a+1)+(x-a-1)f'(a+1) \quad \cdots [1]\] が成り立つ. さらに, (i), (ii) と $f'(x)$ の $x = a$ における連続性(微分可能性から従う)から $f'(a+1) > f'(a) > 0$ であるので, \[\lim\limits_{x \to \infty}(x-a-1)f'(a+1) = \infty \quad \cdots [2]\] が成り立つ. ゆえに, $[1]$, $[2]$ から, $\lim\limits_{x \to \infty}f(x) = \infty$ が成り立つ.
(2)
$f(x) = e^{-x}$ として, $a$ を任意の実数とすると, \[ f'(x) = -e^{-x}, \quad f''(x) = e^{-x} > 0\ (x \geqq a)\] と (ii) が成り立つが, $\lim\limits_{x \to \infty}f(x) = 0$ となり, (iii) は成り立たない.

背景

 $2$ 回微分可能な関数 $f(x)$ について, 次のことが成り立つ.
  • 開区間 $(l,\infty )$ において, 曲線 $y = f(x)$ が下に凸(resp. 上に凸)であり, 接線の傾きが正(resp. 負)であるならば, $\lim\limits_{x \to \infty}f(x) = \infty$ (resp. $\lim\limits_{x \to \infty}f(x) = -\infty$)が成り立つ.
  • 開区間 $(-\infty,r)$ において, 曲線 $y = f(x)$ が下に凸(resp. 上に凸)であり, 接線の傾きが負(resp. 正)であるならば, $\lim\limits_{x \to -\infty}f(x) = \infty$ (resp. $\lim\limits_{x \to -\infty}f(x) = -\infty$)が成り立つ.