COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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空間図形の計量

空間図形の計量

問題≪球に内接する正四面体≫

 半径 $1$ の球に内接する正四面体の体積 $V$ を求めよ.

解答例

 問題の正四面体を $\mathrm{ABCD}$ とし, $1$ 辺の長さを $a$ とおく. また, 頂点 $\mathrm D$ から面 $\mathrm{ABC}$ に下ろした垂線の足を $\mathrm H$ とおく.
辺 $\mathrm{DH}$ を共有し, 斜辺の長さが等しい $3$ つの直角三角形 $\mathrm{ADH},$ $\mathrm{BDH},$ $\mathrm{CDH}$ は合同であるから, \[\mathrm{AH} = \mathrm{BH} = \mathrm{CH}\] である. よって, $\mathrm H$ は $\triangle\mathrm{ABC}$ の外接円の中心であるから, 正弦定理により, \[\mathrm{AH} = \frac{a}{2\sin 60^\circ} = \frac{a}{\sqrt 3}\] である. 直角三角形 $\mathrm{ADH}$ に三平方の定理を適用すると, \[\mathrm{DH} = \sqrt{\mathrm{AD}^2-\mathrm{AH}^2} = \sqrt{a^2-\left(\frac{a}{\sqrt 3}\right) ^2} = \frac{\sqrt 6}{3}a \quad \cdots [1]\] が得られる. 垂線 $\mathrm{DH}$ は球の中心 $\mathrm O$ を通ることに注意して, 直角三角形 $\mathrm{AOH}$ に三平方の定理を適用すると, \[\left(\frac{a}{\sqrt 3}\right) ^2+\left(\frac{\sqrt 6}{3}a-1\right) ^2 = 1^2, \quad a^2-\frac{2\sqrt 6}{3}a = 0\] よって \[ a = \frac{2\sqrt 6}{3}\] が得られる. したがって, \begin{align*} \triangle\mathrm{ABC} &= \frac{1}{2}a^2\sin 60^\circ = \frac{1}{2}\left(\frac{2\sqrt 6}{3}\right)^2\frac{\sqrt 3}{2} = \frac{2\sqrt 3}{3}, \\ \mathrm{DH} &= \frac{\sqrt 6}{3}\cdot\frac{2\sqrt 6}{3} = \frac{4}{3} \end{align*} であるから, \[ V = \frac{1}{3}\triangle\mathrm{ABC}\cdot\mathrm{DH} = \frac{1}{3}\cdot\frac{2\sqrt 3}{3}\cdot\frac{4}{3} = \frac{8\sqrt 3}{27}\] である.

別解 1

 問題の正四面体を $\mathrm{ABCD}$ とし, $1$ 辺の長さを $a$ とおく. また, 辺 $\mathrm{AB}$ の中点を $\mathrm M$ とおく. このとき, \[\mathrm{CM} = \mathrm{DM} = \frac{\sqrt 3}{2}a\] となる. $\theta = \angle\mathrm{CMD}$ とおき, $\triangle\mathrm{CDM}$ において余弦定理を適用すると, \begin{align*} \cos\theta &= \frac{\left(\dfrac{\sqrt 3}{2}a\right) ^2+\left(\dfrac{\sqrt 3}{2}a\right) ^2-a^2}{2\cdot\dfrac{\sqrt 3}{2}a\cdot\dfrac{\sqrt 3}{2}a} \\ &= \frac{(\sqrt 3)^2+(\sqrt 3)^2-2^2}{2\cdot\sqrt 3\cdot\sqrt 3} = \frac{1}{3}, \\ \sin\theta &= \sqrt{1-\cos ^2\theta} = \frac{\sqrt{3^2-1^2}}{3} = \frac{2\sqrt 2}{3} \end{align*} が得られる. よって, 頂点 $\mathrm D$ から面 $\mathrm{ABC}$ に下ろした垂線の足を $\mathrm H$ とおくと, \[\mathrm{DH} = \mathrm{DM}\sin\theta = \frac{\sqrt 3}{2}a\cdot\frac{2\sqrt 2}{3} = \frac{\sqrt 6}{3}a \quad \cdots [1]\] となる. 以下, 解答例と同様.

別解 2: $[1]$ 以降

 球の中心を $\mathrm O$ とおく. $4$ つの四面体 $\mathrm{OABC},$ $\mathrm{OBCD},$ $\mathrm{OCDA},$ $\mathrm{ODAB}$ は合同である. よって, その体積を $W$ とおくと $V = 4W$ となるので, \[\dfrac{1}{3}\triangle\mathrm{ABC}\cdot\mathrm{DH} = 4\cdot\frac{1}{3}\triangle\mathrm{ABC}\cdot\mathrm{OH}\] から \[\mathrm{DH} = 4\mathrm{OH}\] が得られる. 垂線 $\mathrm{DH}$ が点 $\mathrm O$ を通ることに注意すると, \begin{align*} \mathrm{DH} &= \frac{4}{3}\mathrm{OD} = \frac{4}{3}, \\ a &= \frac{3}{\sqrt 6}\mathrm{DH} = \frac{3}{\sqrt 6}\cdot\frac{4}{3} = \frac{2\sqrt 6}{3} \end{align*} が得られる. 以下, 解答例と同様.