COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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三角関数の倍角の公式

三角関数の倍角の公式

定理≪三角関数の $2$ 倍角の公式≫

 すべての角 $\theta$ に対して \begin{align*} \cos 2\theta &= \cos ^2\theta -\sin ^2\theta \\ &= 2\cos ^2\theta -1 = 1-2\sin ^2\theta, \\ \sin 2\theta &= 2\sin\theta\cos\theta \end{align*} が成り立つ. 角 $\theta \neq \dfrac{2k+1}{4}\pi$ ($k$: 整数)に対して \[\tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1-\tan ^2\theta}\] が成り立つ.

定理≪三角関数の $3$ 倍角の公式≫

 すべての角 $\theta$ に対して \begin{align*} \cos 3\theta &= 4\cos ^3\theta -3\cos\theta \\ \sin 3\theta &= 3\sin\theta -4\sin ^3\theta \end{align*} が成り立つ.

問題≪正七角形調和≫

 正七角形 $\mathrm{ABCDEFG}$ において $a = \mathrm{GA},$ $b = \mathrm{GB},$ $c = \mathrm{GC}$ とおき, $\theta = \dfrac{\pi}{7}$ とおく.
(1)
$\triangle\mathrm{GAB}$ と $\triangle\mathrm{GBC}$ に着目して, $b = 2a\cos\theta$ と $c = a(4\cos ^2\theta -1)$ を示せ.
(2)
$\sin 3\theta$ と $\sin 4\theta$ を $\cos\theta$ の多項式と $\sin\theta$ の積の形に表せ.
(3)
$\cos\theta$ を解に持つ $3$ 次方程式を $1$ つ求めよ.
(4)
$a^{-1} = b^{-1}+c^{-1}$ が成り立つことを示せ.

解答例

 こちらを参照.