COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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正弦定理・余弦定理

余弦定理

 $\triangle\mathrm{ABC}$ において, $a = \mathrm{BC},$ $b = \mathrm{CA},$ $c = \mathrm{AB},$ $A = \angle\mathrm A,$ $B = \angle\mathrm B,$ $C = \angle\mathrm C$ とおく.

定理≪余弦定理≫

 $\triangle\mathrm{ABC}$ において, \begin{align*} a^2 &= b^2+c^2-2bc\cos A, \\ b^2 &= c^2+a^2-2ca\cos B, \\ c^2 &= a^2+b^2-2ab\cos C \end{align*} が成り立つ.

問題≪ヘロンの三角形≫

 $\triangle\mathrm{ABC}$ の $3$ 辺の長さと面積がすべて整数であるとき, 頂点 $\mathrm A$ から $\mathrm{BC}$ に下した垂線の足を $\mathrm H$ とおくと, $\mathrm{BC}\cdot\mathrm{AH},$ $2\mathrm{BC}\cdot\mathrm{BH},$ $2\mathrm{BC}\cdot\mathrm{CH}$ はすべて整数であることを示せ.

解答例

 こちらを参照.