COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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正弦定理・余弦定理

 $\triangle\mathrm{ABC}$ において, $a = \mathrm{BC},$ $b = \mathrm{CA},$ $c = \mathrm{AB},$ $A = \angle\mathrm A,$ $B = \angle\mathrm B,$ $C = \angle\mathrm C$ とおく.

正弦定理

定理≪正弦定理≫

 $\triangle\mathrm{ABC}$ において, 外接円の半径を $R$ とおくと, \[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\] が成り立つ.

問題≪チャップル=オイラーの定理≫

 次のことを示せ.
(A)
点 $\mathrm O$ を中心とする半径 $R$ の円の弦 $\mathrm{XY}$ 上のすべての点 $\mathrm P$ に対して \[\mathrm{OP}^2 = R^2-\mathrm{XP}\cdot\mathrm{YP}\] が成り立つ.
(B)
$\triangle\mathrm{ABC}$ の外心を $\mathrm O,$ 内心を $\mathrm I,$ 外接円の半径を $R,$ 内接円の半径を $r$ とおく. さらに, 直線 $\mathrm{AI}$ と円 $\mathrm O$ の交点のうち $\mathrm A$ と異なる方の点を $\mathrm D$ とおき, 辺 $\mathrm{AB}$ と円 $\mathrm I$ の接点を $\mathrm E$ とおくと,
(1)
$\mathrm{DB} = \mathrm{DI},$ 
(2)
$\mathrm{AI}\cdot\mathrm{DB} = 2Rr,$ 
(3)
$\mathrm{OI}^2 = R^2-2Rr$ 
が成り立つ.
[2012 宮崎大*]

解答例

 こちらを参照.

余弦定理

定理≪余弦定理≫

 $\triangle\mathrm{ABC}$ において, \begin{align*} a^2 &= b^2+c^2-2bc\cos A, \\ b^2 &= c^2+a^2-2ca\cos B, \\ c^2 &= a^2+b^2-2ab\cos C \end{align*} が成り立つ.

問題≪ヘロンの三角形≫

 $\triangle\mathrm{ABC}$ の頂点 $\mathrm A$ から $\mathrm{BC}$ に下した垂線の足を $\mathrm H$ とおく.
(1)
$a = \mathrm{BC},$ $b = \mathrm{CA},$ $c = \mathrm{AB}$ と $S = \triangle\mathrm{ABC}$ を用いて $\dfrac{\mathrm{AH}}{c},$ $\dfrac{\mathrm{BH}}{c},$ $\dfrac{\mathrm{CH}}{b}$ を表せ.
(2)
$a,$ $b,$ $c$ と $S$ がすべて整数であるとき, $a\cdot\mathrm{AH},$ $2a\cdot\mathrm{BH},$ $2a\cdot\mathrm{CH}$ はすべて整数であることを示せ.

解答例

 こちらを参照.

問題≪ヘロンの公式≫

 $\triangle\mathrm{ABC}$ において, $a = \mathrm{BC},$ $b = \mathrm{CA},$ $c = \mathrm{AB},$ $s = \dfrac{a+b+c}{2}$ とおく. このとき, \[\triangle\mathrm{ABC} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\] が成り立つことを示せ.

解答例

 こちらを参照.