COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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複素数と図形

三角不等式

問題≪三角不等式≫

(1)
複素数 $z_1,$ $z_2$ に対して \[ |z_1+z_2| \leqq |z_1|+|z_2|\] が成り立つことを示せ. また, その等号成立条件を求めよ.
(2)
平面上の $3$ 点 $\mathrm P_1,$ $\mathrm P_2,$ $\mathrm P_3$ に対して \[\mathrm P_1\mathrm P_2+\mathrm P_2\mathrm P_3 \geqq \mathrm P_1\mathrm P_3\] が成り立つことを示せ. また, その等号成立条件を求めよ.

解答例

(1)
\begin{align*} (|z|+|w|)^2 &= |z|^2+2|z||w|+|w|^2, \\ |z+w|^2 &= (z+w)\overline{(z+w)} = (z+w)(\bar z+\bar w) \\ &= |z|^2+z\bar w+\bar zw +|w|^2 \end{align*} であるから, 辺々を引くと \begin{align*} (|z|+|w|)^2-|z+w|^2 &= 2|z||w|-(z\bar w+\bar zw) \\ &= 2|z||\bar w|-(z\bar w+\overline{z\bar w}) \\ &= 2\{ |z\bar w|-\mathrm{Re}\,(z\bar w)\} \geqq 0 \end{align*} が得られる. ここで, $\mathrm{Re}\,(z\bar w)$ は $z\bar w$ の実部を表す. 最後の不等号は, すべての実数 $x,$ $y$ に対して成り立つ不等式 \[ |x| \leqq \sqrt{x^2+y^2} = |x+yi|\] から従う. よって, $(|z|+|w|)^2 \geqq |z+w|^2,$ $|z+w| \geqq 0,$ $|z|+|w| \geqq 0$ であるから, \[ |z|+|w| \geqq |z+w|\] が成り立つ. 等号成立条件は, $|z\bar w| = \mathrm{Re}\,(z\bar w)$ であること, つまり $z\bar w$ が $0$ 以上の実数であることである. $z \neq 0,$ $w \neq 0$ のとき, 偏角を $-\pi$ より大, $\pi$ 以下の範囲で考えると, これは \[\mathrm{arg}\,z\bar w = \mathrm{arg}\,z+\mathrm{arg}\,\bar w = \mathrm{arg}\,z-\mathrm{arg}\,w = 0,\] つまり $\mathrm{arg}\,z = \mathrm{arg}\,w$ であることに他ならない.
(2)
$3$ 点 $\mathrm P_1,$ $\mathrm P_2,$ $\mathrm P_3$ に対応する複素数をそれぞれ $z_1,$ $z_2,$ $z_3$ とおく. このとき, (1)で示したことから \begin{align*} |z_1-z_2|+|z_2-z_3| &\geqq |(z_1-z_2)+(z_2-z_3)| \\ &= |z_1-z_3| \end{align*} が成り立つので, $\mathrm P_1\mathrm P_2+\mathrm P_2\mathrm P_3 \geqq \mathrm P_1\mathrm P_3$ が得られる. 等号成立条件は, $z_1-z_2 = 0,$ $z_2-z_3 = 0,$ または $\mathrm{arg}\,(z_1-z_2) \equiv \mathrm{arg}\,(z_2-z_3) \pmod{2\pi}$ であること, つまり $\mathrm P_1,$ $\mathrm P_2,$ $\mathrm P_3$ がこの順に一直線上に並ぶことである.

別解

(1)
(i)
$z_1 = 0$ または $z_2 = 0$ のとき. $|z_1+z_2| = |z_1|+|z_2|$ が成り立つ.
(ii)
$z_1,$ $z_2 \neq 0$ のとき. 各番号 $k$ に対して $z_k = r_k(\cos\theta _k+i\sin\theta _k)$ ($r_k > 0,$ $\theta _k$: 実数)とおく. このとき, \begin{align*} &(|z_1|+|z_2|)^2-|z_1+z_2|^2 \\ &=|z_1|^2+2|z_1z_2|+|z_2|^2-(z_1+z_2)(\overline{z_1}+\overline{z_2}) \\ &= 2|z_1||z_2|-z_1\overline{z_2}+\overline{z_1}z_2 \\ &= 2r_1r_2\\ &\quad\!\!-\!r_1(\cos\theta _1\!+\!i\sin\theta _1)r_2\{\cos (-\theta _2)\!+\!i\sin (-\theta _2)\} \\ &\quad\!\!-\!r_1\{\cos (-\theta _1)\!+\!i\sin (-\theta _1)\} r_2(\cos\theta _2\!+\!i\sin\theta _2) \\ &= 2r_1r_2\\ &\quad\!\!-r_1r_2\{\cos (\theta _1-\theta _2)+i\sin (\theta _1-\theta _2)\} \\ &\quad\!\!-r_1r_2\{\cos (\theta _2-\theta _1)+i\sin (\theta _2-\theta _1)\} \\ &= 2r_1r_2\!-\!r_1r_2\cdot 2\cos\frac{0}{2}\cos\frac{(\theta _1\!-\!\theta _2)\!-\!(\theta _2\!-\!\theta _1)}{2} \\ &= 2r_1r_2\{ 1-\cos (\theta _1-\theta _2)\} \\ &\geqq 0 \end{align*} となるから, $|z_1+z_2|^2 \leqq (|z_1|+|z_2|)^2$ つまり $|z_1+z_2| \leqq |z_1|+|z_2|$ が成り立つ. 等号成立は, $\theta _1-\theta _2$ が $2\pi$ の倍数であるとき, つまり $\mathrm{arg}\,z_1 \equiv \mathrm{arg}\,z_2 \pmod{2\pi}$ であるときに限る.
(i), (ii) から, すべての場合に不等式が成り立ち, 等号成立条件は $z_1 = 0,$ $z_2 = 0,$ または $\mathrm{arg}\,z_1 \equiv \mathrm{arg}\,z_2 \pmod{2\pi}$ であることである.

背景

 (2) で示した不等式は「三角不等式」(triangle inequality)と呼ばれる.

回転移動

定理≪複素数平面上の点の回転移動≫

 点 $\alpha$ を中心として点 $\beta$ を角 $\theta$ だけ回転した点が $\gamma$ であるとき, \[\gamma -\alpha = (\cos\theta +i\sin\theta )(\beta -\alpha )\] が成り立つ.

問題≪複素数平面上の正三角形の成立条件≫

 複素平面上の相異なる $3$ 点 $\mathrm A(\alpha ),$ $\mathrm B(\beta ),$ $\mathrm C(\gamma )$ が正三角形を成すための必要十分条件は, $\alpha ^2+\beta ^2+\gamma ^2 = \alpha\beta +\beta\gamma +\gamma\alpha$ であることを示せ.

解答例

$\triangle\mathrm{ABC}$ が正三角形
$\iff$ $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ は $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ を $\pm\dfrac{\pi}{3}$ だけ回転したベクトル
$\iff$ $\gamma -\alpha = (\beta -\alpha )\left\{\cos\left(\pm\dfrac{\pi}{3}\right) +i\sin\left(\pm\dfrac{\pi}{3}\right)\right\}$
$\iff$ $\gamma -\alpha = (\beta -\alpha )\left(\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{\sqrt 3}{2}i\right)$
$\iff$ $\gamma -\dfrac{1}{2}(\alpha +\beta ) = \pm\dfrac{\sqrt 3}{2}(\beta -\alpha )i$
$\iff$ $\left\{\gamma -\dfrac{1}{2}(\alpha +\beta )\right\} ^2 = -\dfrac{3}{4}(\beta -\alpha )^2$
$\iff$ $\alpha ^2 +\beta ^2+\gamma ^2 = \alpha\beta +\beta\gamma +\gamma\alpha$
から, 題意が成り立つ.

共円条件

問題≪共円条件≫

 相異なる複素数 $\alpha,$ $\beta,$ $\gamma,$ $\delta$ で表される点が同一直線上にないとき, $4$ 点がこの順に同一円周上に並ぶためには, \[\frac{\alpha -\beta}{\gamma -\beta}\cdot\frac{\gamma -\delta}{\alpha -\delta}\] が負の実数であることと同値であることを示せ.

解答例

 $4$ 点 $\alpha,$ $\beta,$ $\gamma,$ $\delta$ がこの順に同一円周上に並ぶとする. このとき, $\mathrm{arg}\,\dfrac{\alpha -\beta}{\gamma -\beta},$ $\mathrm{arg}\,\dfrac{\gamma -\delta}{\alpha -\delta}$ の符号は等しいから, 偏角を $-\pi$ より大, $\pi$ 以下の範囲で考えると, 円に内接する四角形の内角の和が $\pi$ であることから \[\mathrm{arg}\,\frac{\alpha -\beta}{\gamma -\beta}\cdot\dfrac{\gamma -\delta}{\alpha -\delta} = \left|\mathrm{arg}\,\frac{\alpha -\beta}{\gamma -\beta}\right| +\left|\mathrm{arg}\,\frac{\gamma -\delta}{\alpha -\delta}\right| = \pi\] が成り立つ. これは, $\dfrac{\alpha -\beta}{\gamma -\beta}\cdot\dfrac{\gamma -\delta}{\alpha -\delta}$ が負の実数であることを意味している.
この逆も, 向かい合う内角の和が $\pi$ の四角形は円に内接することから従う.

問題≪トレミーの不等式≫

 次の問いに答えよ. ただし, 上の問題で示した「三角不等式」は証明なしに用いてよい.
(1)
$(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)$ を因数分解せよ.
(2)
平面上の相異なる $4$ 点 $\mathrm A,$ $\mathrm B,$ $\mathrm C,$ $\mathrm D$ に対して, 不等式 \[\mathrm{AB}\cdot\mathrm{CD}+\mathrm{AD}\cdot\mathrm{BC} \geqq \mathrm{AC}\cdot\mathrm{BD}\] が成り立つことを示せ. また, その等号成立条件を求めよ.
(3)
最大の内角が $120^\circ$ 未満の $\triangle\mathrm{ABC}$ の内部に点 $\mathrm P$ をとり, $\triangle\mathrm{ABC}$ の外側に正三角形 $\mathrm{ABC}'$ を描く. $\mathrm{PA}+\mathrm{PB} \geqq \mathrm{PC}'$ が成り立つことを示せ. また, $\mathrm{PA}+\mathrm{PB}+\mathrm{PC}$ が最小になるとき, $\angle\mathrm{APB} = 120^\circ$ が成り立つことを示せ.

解答例

(1)
与式を変形すると, \begin{align*} &(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c) \\ &= (ac-ad-bc+bd)+(ab-ac-bd+cd) \\ &= ab-ad-bc+cd \\ &= a(b-d)-c(b-d) \\ &= (a-c)(b-d) \end{align*} となる.
(2)
$4$ 点 $\mathrm A,$ $\mathrm B,$ $\mathrm C,$ $\mathrm D$ に対応する複素数をそれぞれ $\alpha,$ $\beta,$ $\gamma,$ $\delta$ とおく. \[ (\alpha -\beta )(\gamma -\delta )+(\alpha -\delta )(\beta -\gamma ) = (\alpha -\gamma )(\beta -\delta )\] の両辺の絶対値をとると \[ |(\alpha -\beta )(\gamma -\delta )+(\alpha -\delta )(\beta -\gamma )| = |\alpha -\gamma ||\beta -\delta |\] となるから, 三角不等式により \begin{align*} |\alpha -\beta ||\gamma -\delta |+|\alpha -\delta ||\beta -\gamma | &\geqq |\alpha -\gamma ||\beta -\delta | \\ \mathrm{AB}\cdot\mathrm{CD}+\mathrm{AD}\cdot\mathrm{BC} &\geqq \mathrm{AC}\cdot\mathrm{BD} \end{align*} となる. 等号は, 偏角を $-\pi$ より大, $\pi$ 以下の範囲で考えると, \begin{align*} \mathrm{arg}\,(\alpha -\beta )(\gamma -\delta ) &= \mathrm{arg}\,(\alpha -\delta )(\beta -\gamma ) \\ \mathrm{arg}\,\dfrac{(\alpha -\beta )(\gamma -\delta )}{(\alpha -\delta )(\beta -\gamma )} &= 0 \\ \mathrm{arg}\,\frac{(\alpha -\beta )(\gamma -\delta )}{(\gamma -\beta )(\alpha -\delta )} &= \pi \\ \left|\mathrm{arg}\,\frac{\alpha -\beta}{\gamma -\beta}\right| +\left|\mathrm{arg}\,\frac{\gamma -\delta}{\alpha -\delta}\right| &= \pi \end{align*} のとき, つまり $\mathrm A,$ $\mathrm B,$ $\mathrm C,$ $\mathrm D$ がこの順に同一円周上に並ぶときに成り立つ.
(3)
(2) から, \[\mathrm{PA}\cdot\mathrm C'\mathrm B+\mathrm{PB}\cdot\mathrm{AC}' \geqq \mathrm P\mathrm C'\cdot\mathrm{AB}\] が成り立つ. $\triangle\mathrm{ABC}'$ は正三角形であることから, 両辺を $\mathrm C'\mathrm B = \mathrm{AC}' = \mathrm{AB}$ で割ると, \[\mathrm{PA}+\mathrm{PB} \geqq \mathrm{PC}'\] となる. 両辺に $\mathrm{PC}$ を加えると,「三角不等式」により, \[\mathrm{PA}+\mathrm{PB}+\mathrm{PC} \geqq \mathrm{CP}+\mathrm{PC}' \geqq \mathrm{CC}' \] が得られる. 等号成立は, $\mathrm P,$ $\mathrm A,$ $\mathrm C',$ $\mathrm B$ がこの順に同一円周上に並び, $\mathrm C,$ $\mathrm P,$ $\mathrm C'$ がこの順に同一直線上に並ぶときに限る.
このとき, 円に内接する四角形の性質から, \[\angle\mathrm{APB} = 180^\circ -\angle\mathrm{AC}'\mathrm B = 180^\circ -60^\circ = 120^\circ\] が成り立つ.

背景

  • (2) で示した不等式は「トレミーの不等式」(Ptolemy's inequality)と呼ばれる.
  • (3) と同様にして, $\mathrm{PA}+\mathrm{PB}+\mathrm{PC}$ が最小になるとき, \[\angle\mathrm{APB} = \angle\mathrm{BPC} = \angle\mathrm{CPA} = 120^\circ\] の成り立つことが分かる. このような点 $\mathrm P$ は $\triangle\mathrm{ABC}$ の「フェルマー点」または「トリチェリ点」(Fermat point, Torricelli point)などと呼ばれる.