COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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不等式の整数解

不等式の整数解

問題≪プラトンの多面体定理≫

(1)
各頂点に $m$ 本の辺が集まり, 各面が正 $n$ 角形であるような正多面体について, $(m-2)(n-2) < 4$ が成り立つことを示せ.
(2)
正多面体は, 正四面体, 正六面体, 正八面体, 正十二面体, 正二十面体の $5$ つに限ることを示せ.

解答例

(1)
各頂点に $m$ 本の辺が集まり, 各面が正 $n$ 角形であるような正多面体を考える. 正多面体には凹みがないから, その $1$ つの頂点に集まる角の和は $360^\circ$ 未満である. 正 $n$ 角形の内角の大きさは $180^\circ \times (n-2)\div n$ であるから, \[\frac{180(n-2)m}{n} < 360\] が成り立つ. 整理すると $(n-2)m < 2n$ となり, $mn-2m-2n < 0$ から \[ (m-2)(n-2) < 4 \quad \cdots [1]\] となる.
(2)
$m \geqq 3,$ $n \geqq 3$ に注意すると, $[1]$ から \begin{align*} (m-2,n-2) &= (1,1),\ (1,2),\ (1,3),\ (2,1),\ (3,1) \\ (m,n) &= (3,3),\ (3,4),\ (3,5),\ (4,3),\ (5,3) \end{align*} となる. この条件を満たす正多面体は, それぞれ正四面体, 正六面体, 正八面体, 正十二面体, 正二十面体である.

背景

 本問の結果は「プラトンの多面体定理」として知られている.