COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

数式を枠からはみ出さずに表示するためには, 画面を横に傾けてください(532 ピクセル以上推奨).

素数

約数の和

定理≪約数の和の公式≫

 $2$ 以上の整数 $a$ が $a = p_1{}^{m_1}\cdots p_r{}^{m_r}$ ($p_k$: 相異なる素数, $m_k$: 正の整数)と素因数分解されるとき, $a$ の正の約数の総和 $\sigma (a)$ は \[\sigma (a) = (1+\cdots +p_1{}^{m_1})\cdots (1+\cdots +p_r{}^{m_r})\] である.

証明

 $a$ の正の約数は $p_1{}^{k_1}\cdots p_r{}^{k_r}$ ($0 \leqq k_j \leqq m_j$)の形に表され, \[ (1+\cdots +p_1{}^{m_1})\cdots (1+\cdots +p_r{}^{m_r})\] を展開したときの項としてもれも重複もなく現れるから, 上記の等式が成り立つ.

問題≪メルセンヌ素数と偶数の完全数≫

 正の整数 $a$ について, $a$ の正の約数の総和を $\sigma (a)$ で表す. $\sigma (a) = 2a$ が成り立つとき, $a$ を完全数と呼ぶ. 次のことを示せ.
(1)
正の整数 $a,$ $b$ が互いに素ならば, $\sigma (ab) = \sigma (a)\sigma (b)$ が成り立つ.
(2)
$n$ を正の整数とするとき, $2^n-1$ が素数ならば, $a = 2^{n-1}(2^n-1)$ は偶数の完全数である.
(3)
偶数の完全数 $a$ を $a = 2^{n-1}a'$ ($n$: $2$ 以上の整数, $a'$: 奇数)の形に表す. このとき, $\sigma (a') = a'+\dfrac{a'}{2^n-1},$ $a' = 2^n-1$ であり, $a'$ は素数である.
[2000 佐賀大*]
ヒント: $2^n-1 = (2-1)(1+\cdots +2^{n-1})$ が成り立つ.

解答例

 こちらを参照.