COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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素数

素数

問題≪$p$ 進付値≫

 $p$ を素数として, $0$ でない整数 $a$ が $p$ で割り切れる回数の最大値を $v(a)$ で表す. $0$ でないすべての整数 $a,$ $b$ に対して, $v(ab) = v(a)+v(b)$ が成り立つことを示せ.

解答例

 素因数分解の一意性より
$a = p^{v(a)}a',$ $b = p^{v(b)}b'$ ($a',$ $b'$: $p$ と互いに素)
と表せて
$ab = p^{v(a)+v(b)}a'b'$ ($a'b'$: $p$ と互いに素)
となるから, \[v(ab) = v(a)+v(b)\] が成り立つ.

約数の和

 こちらを参照.