COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

数式を枠からはみ出さずに表示するためには, 画面を横に傾けてください(532 ピクセル以上推奨).

体積

非回転体の体積

問題≪$2$ 本の円柱の共通部分の体積≫

 $2$ 本の円柱 \[ y^2+z^2 \leqq 1, \quad x^2+z^2 \leqq 1\] の共通部分の体積 $V$ を求めよ.

解答例

 $|x| \leqq 1,$ $|y| \leqq 1$ の範囲で考えれば十分である. $|t| < 1$ のとき, 平面 $z = t$ による各円柱の切り口は, 図のように長方形
$\left\{\begin{array}{l} |x| \leqq 1, \\ |y| \leqq \sqrt{1-t^2} \end{array}\right.$ と $\left\{\begin{array}{l} |y| \leqq 1, \\ |x| \leqq \sqrt{1-t^2} \end{array}\right.$
になるから, 平面 $z = t$ による円柱の共通部分の切り口は正方形 \[\left\{\begin{array}{l} |x| \leqq \sqrt{1-t^2}, \\ |y| \leqq \sqrt{1-t^2} \end{array}\right.\] になる.
この面積を $S(t)$ とおくと \[ S(t) = (2\sqrt{1-t^2})^2 = 4(1-t^2)\] となるから, 求める体積は \begin{align*} V &= \int_{-1}^1S(t)dt = 4\int_{-1}^1(1-t^2)dt = 8\int_0^1(1-t^2)dt \\ &= 8\left[ t-\frac{t^3}{3}\right]_0^1 = 8\left( 1-\frac{1}{3}\right) = \frac{16}{3} \end{align*} である.

問題≪$3$ 次元アステロイドの体積≫

(1)
曲線 $C:\left\{\begin{array}{l} x = \cos ^3\theta, \\ y = \sin ^3\theta \end{array}\right.\ (-\pi \leqq \theta \leqq \pi)$ で囲まれた領域の面積 $A$ を求めよ.
(2)
曲面 $S:x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}+z^{\frac{2}{3}} = 1$ で囲まれた図形の体積 $V$ を求めよ.

解答例

(1)
\begin{align*} (\cos ^3\theta )^{\frac{2}{3}}+(\sin ^3\theta )^{\frac{2}{3}} = \cos ^2\theta +\sin ^2\theta = 1 \end{align*} から $C$ は $x,$ $y$ の方程式 \[ x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}} = 1\] で表されるので, $C$ は $x$ 軸, $y$ 軸に関して対称であって, $C$ の概形は次のようになる.
よって, $C$ で囲まれた図形の面積は \begin{align*} A &= 4\int_0^1ydx = 4\int_{\frac{\pi}{2}}^0y\frac{dx}{d\theta}d\theta \\ &= 4\int_{\frac{\pi}{2}}^0\sin ^3\theta (-3\cos ^2\theta\sin \theta )d\theta \\ &= 12\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin ^4\theta\cos ^2\theta d\theta \\ &= 12\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin ^4\theta (1-\sin ^2\theta )d\theta \\ &= 12\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\sin ^4\theta -\sin ^6\theta )d\theta \\ &= 12\left(\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}-\frac{5}{6}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}\right) \\ &= \frac{3\pi}{8} \end{align*} である.
(2)
平面 $z = t$ $(-1 \leqq t \leqq 1)$ による $S$ の断面積, すなわち曲線 $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}} = 1-t^{\frac{2}{3}},$ $z = t$ で囲まれた図形の面積を $A(t)$ とおく. このとき, $C$ と曲線 $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}}$ の相似比が $1:a$ であることと (1) の結果から \[ A(t) = \frac{3\pi}{8}\left\{ (1-t^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}\right\} ^2 = \frac{3\pi}{8}(1-t^{\frac{2}{3}}) ^3\] となる. $A(t)$ を $t = -1$ から $1$ まで積分すると, $A(t)$ は偶関数であるから, \begin{align*} V &= \int_{-1}^1A(t)dt = 2\int_0^1A(t)dt \\ &= 2\cdot\frac{3\pi}{8}\int_0^1(1-t^{\frac{2}{3}}) ^3dt \\ &= \frac{3\pi}{4}\int_0^1(1-3t^{\frac{2}{3}}+3t^{\frac{4}{3}}-t^2)dt \\ &= \frac{3\pi}{4}\left[ t-\frac{9}{5}t^{\frac{5}{3}}+\frac{9}{7}t^{\frac{7}{3}}-\frac{1}{3}t^3\right] _0^1 \\ &= \frac{3\pi}{4}\left( 1-\frac{9}{5}+\frac{9}{7}-\frac{1}{3}\right) \\ &= \frac{4\pi}{35} \end{align*} となる.

回転体の体積

問題≪トーラスの体積≫

 $0 < r < R$ とする. 円 $x^2+(y-R)^2 \leqq r^2$ を $x$ 軸の周りに $1$ 回転させてできる立体の体積 $V$ を求めよ.

解答例

 $x^2+(y-R)^2 = r^2$ を $y$ について解くと, \[ y = R\pm\sqrt{r^2-x^2}\] となる. 円周の半分 $y = R\pm\sqrt{r^2-x^2}$ と $x$ 軸, 直線 $x = -r,$ $x = r$ で囲まれた図形を $x$ 軸の周りに $1$ 回転させてできる立体の体積を $V_\pm$ (複号同順)とおくと, 求める体積は \begin{align*} V &= V_+-V_- \\ &= \pi\int_{-r}^r(R\!+\!\sqrt{r^2\!-\!x^2})^2dx\!-\!\pi\int_{-r}^r(R\!-\!\sqrt{r^2\!-\!x^2})^2dx \\ &= 4\pi R\int_{-r}^r\sqrt{r^2-x^2}dx = 8\pi R\int_0^r\sqrt{r^2-x^2}dx \\ &= 8\pi R\cdot\frac{\pi r^2}{4} = 2\pi ^2r^2R \end{align*} である.