COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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直線

直線

定理≪直線の方程式≫

 $xy$ 平面上の相異なる $2$ 点 $(x_1,y_1),$ $(x_2,y_2)$ を通る直線の方程式は,
(i)
$x_1 \neq x_2$ のとき $y-y_1 = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$
(ii)
$x_1 = x_2$ のとき $x = x_1$
である.

定理≪直線の垂直条件≫

(1)
$2$ 直線 $l_1:y = m_1x+n_1,$ $l_2:y = m_2x+n_2$ ($m_k,$ $n_k$: 定数)に対して, \[ l_1 \perp l_2 \iff m_1m_2 = -1\] が成り立つ.
(2)
$2$ 直線 $l_1:a_1x+b_1y+c_1 = 0,$ $l_2:a_2x+b_2y+c_2 = 0$ ($a_k,$ $b_k,$ $c_k$: 定数)に対して, \[ l_1\perp l_2 \iff a_1a_2+b_1b_2 = 0\] が成り立つ.

問題≪三角形の垂心≫

 $\triangle\mathrm{ABC}$ の $3$ つの頂点から, それぞれの対辺に下ろした $3$ 本の垂線は $1$ 点で交わることを示せ.

解答例

 直線 $\mathrm{BC}$ 上に $x$ 軸を引き, 頂点 $\mathrm A$ から下した垂線上に $y$ 軸を引いて, 座標軸を定める. このとき, $\triangle\mathrm{ABC}$ の各頂点の座標は $\mathrm A(0,a),$ $\mathrm B(b,0),$ $\mathrm C(c,0)$ $(a \neq 0,\ b \neq c)$ と表せる.
(i)
$b = 0$ または $c = 0$ のとき. $\triangle\mathrm{ABC}$ は直角三角形となるから, $3$ 本の垂線は原点で交わる.
(ii)
$b \neq 0,$ $c \neq 0$ のとき. 直線 $\mathrm{AB}$ の傾きは $-\dfrac{a}{b}$ であるから, 頂点 $\mathrm C$ から下ろした垂線の方程式は
$y = \dfrac{b}{a}(x-c)$ つまり $y = \dfrac{b}{a}x-\dfrac{bc}{a}\ \cdots [1]$
である. また, 直線 $\mathrm{AC}$ の傾きは $-\dfrac{a}{c}$ であるから, 頂点 $\mathrm B$ から下ろした垂線の方程式は
$y = \dfrac{c}{a}(x-b)$ つまり $y = \dfrac{c}{a}x-\dfrac{bc}{a}\ \cdots [2]$
である. $[1],$ $[2]$ の $y$ 切片はともに $\left( 0,-\dfrac{bc}{a}\right)$ であり, 頂点 $\mathrm A$ から下ろした垂線は $y$ 軸上にあるから, $3$ 本の垂線は $1$ 点 $\left( 0,-\dfrac{bc}{a}\right)$ で交わる.
(i), (ii) から, 題意が示された.